Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 55 стр.

элементы f0 , f1 , . . . , fn ∈ K — коэффициентами многочлена f , а кольцо
P обозначается через K[X] и называется кольцом многочленов от
переменной X над полем K .
      Легко видеть, что введенные выше операции сложения и умножения
многочленов при переходе к новой форме записи соответствуют
обычным правилам сложения и умножения выражений, содержащих
переменную X . В последних порядок нумерации коэффициентов не
имеет существенного значения. Договоримся в дальнейшем нумеровать
коэффициенты многочленов в порядке убывания степеней переменной X :
f = a0 X n + a1 X n−1 + · · · + an−1 X + an (a0 6= 0). Наибольшая из степеней
переменной X , коэффициент при которой отличен от 0, называется
степенью многочлена f и обозначается deg f , коэффициент a0 при X n ,
где n = deg f , называется старшим коэффициентом, а коэффициент
an — свободным членом. Степень нулевого многочлена обозначается
через −∞. Множество степеней многочленов естественным образом
упорядочено: −∞ < 0 < 1 < 2 < . . . , при этом считается, что
−∞ + deg f = −∞ для любого f ∈ K[X]. Вполне очевидны следующие
      Свойства степеней:
      1◦ . deg(f ± g) ≤ max(deg f, deg g).
      2◦ . deg(f g) = deg f + deg g .
      Говорят, что кольцо не содержит делителей нуля, если для любых
его элементов a, b из ab = 0 следует a = 0 или b = 0. Коммутативное
кольцо без делителей нуля называется целостным. Легко видеть, что
любое поле целостно.
Предложение 6.2 Кольцо K[X] — целостно.
Доказательство. Пусть f, g ∈ K[X] и f g = 0. Если f 6= 0, то deg f ≥ 0,
поэтому с учетом 2◦ имеем −∞ = deg 0 = deg(f g) = deg f + deg g ≥
deg g ≥ −∞, откуда deg g = −∞ и, следовательно, g = 0.C

                6.2 Деление многочленов с остатком

      Пусть K — поле, f, g ∈ K[X]. Если f = qg + r , где q, r ∈ K[X],
deg r < deg g , то говорят, что f делится на g с остатком r .
Теорема (о делении с остатком). Пусть f, g ∈ K[X], g 6= 0. Тогда


                                     53