Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

существует единственная пара многочленов q, r ∈ K[X] такая, что
f = qg + r, deg r < deg g.
Доказательство. Сначала докажем существование пары (q, r), воспользо-
вавшись методом математической индукции по степени n многочлена f .
Основание индукции. Согласно условию теоремы g 6= 0, так что
deg g > −∞, поэтому f = 0·g + f — требуемое представление f при
любом n < deg g.
Пусть для всех многочленов степени, строго меньшей n,
утверждение уже доказано. Обозначим степень g через m. С учетом
сказанного выше, можно считать, что m ≤ n. Запишем многочлены f и
g в явном виде:
f = a
0
X
n
+ a
1
X
n−1
+ ··· + a
n−1
X + a
n
,
g = b
0
X
m
+ b
1
X
m−1
+ ··· + b
m−1
X + b
m
.
Рассмотрим многочлен ˜g = a
0
b
−1
0
X
n−m
g. Очевидно, что deg ˜g = n
и что старшие члены многочленов f и ˜g совпадают, поэтому степень
многочлена
˜
f = f − ˜g строго меньше n. По предположению индукции
найдутся многочлены ˜q, ˜r такие, что
˜
f = ˜qg + ˜r, deg ˜r < deg g. Тогда
f = ˜g +
˜
f = a
0
b
−1
0
X
n−m
g + ˜qg + ˜r = (a
0
b
−1
0
X
n−m
+ ˜q)g + ˜r
— требуемое представление f .
Докажем единственность. Пусть f = q
i
g + r
i
, deg r
i
< deg g
(i = 1, 2) — два представления многочлена f . Тогда (q
1
− q
2
)g = r
2
− r
1
.
Если q
1
− q
2
6= 0, то deg(q
1
− q
2
) ≥ 0, следовательно,
deg g ≤ deg(q
1
− q
2
) + deg g = deg((q
1
− q
2
)g) = deg(r
2
− r
1
) ≤
max(deg r
2
, deg r
1
) < deg g,
откуда deg g < deg g — противоречие. Значит, q
1
− q
2
= 0, то есть,
q
1
= q
2
. Тогда q
1
g = q
2
g, поэтому из равенств q
1
g + r
1
= f = q
2
g + r
2
выводим r
1
= r
2
.C
6.3 Делимость в кольце многочленов
Пусть R — целостное кольцо с единицей, a, b ∈ R. Говорят, что
a делит b (обозначение: a | b), если b = ac для некоторого c ∈ R.
54
существует единственная пара многочленов q, r ∈ K[X] такая, что

                       f = qg + r,     deg r < deg g.

Доказательство. Сначала докажем существование пары (q, r), воспользо-
вавшись методом математической индукции по степени n многочлена f .
      Основание индукции. Согласно условию теоремы g 6= 0, так что
deg g > −∞, поэтому f = 0·g + f — требуемое представление f при
любом n < deg g .
      Пусть для всех многочленов степени, строго меньшей n,
утверждение уже доказано. Обозначим степень g через m. С учетом
сказанного выше, можно считать, что m ≤ n. Запишем многочлены f и
g в явном виде:

                 f = a0 X n + a1 X n−1 + · · · + an−1 X + an ,
                 g = b0 X m + b1 X m−1 + · · · + bm−1 X + bm .

Рассмотрим многочлен g̃ = a0 b−1   0 X
                                       n−m
                                           g . Очевидно, что deg g̃ = n
и что старшие члены многочленов f и g̃ совпадают, поэтому степень
многочлена f˜ = f − g̃ строго меньше n. По предположению индукции
найдутся многочлены q̃, r̃ такие, что f˜ = q̃g + r̃ , deg r̃ < deg g . Тогда

       f = g̃ + f˜ = a0 b−1
                         0 X
                             n−m
                                 g + q̃g + r̃ = (a0 b−1
                                                     0 X
                                                         n−m
                                                             + q̃)g + r̃

— требуемое представление f .
      Докажем единственность. Пусть f = qi g + ri , deg ri < deg g
(i = 1, 2) — два представления многочлена f . Тогда (q1 − q2 )g = r2 − r1 .
Если q1 − q2 6= 0, то deg(q1 − q2 ) ≥ 0, следовательно,

     deg g ≤ deg(q1 − q2 ) + deg g = deg((q1 − q2 )g) = deg(r2 − r1 ) ≤
                      max(deg r2 , deg r1 ) < deg g,

откуда deg g < deg g — противоречие. Значит, q1 − q2 = 0, то есть,
q1 = q2 . Тогда q1 g = q2 g , поэтому из равенств q1 g + r1 = f = q2 g + r2
выводим r1 = r2 .C

               6.3 Делимость в кольце многочленов

     Пусть R — целостное кольцо с единицей, a, b ∈ R. Говорят, что
a делит b (обозначение: a | b), если b = ac для некоторого c ∈ R.

                                      54

Страницы