Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 57 стр.

Выражение a - b означает, что a не делит b. Делители единицы называ-
ются обратимыми элементами.
       Если многочлен f ∈ K[X] обратим, то f g = 1 для некоторого
g ∈ K[X]. Тогда 0 = deg (f g) = deg f + deg g , откуда deg f = deg g = 0,
то есть, f, g ∈ K . Следовательно, обратимыми элементами кольца K[X]
являются только ненулевые элементы поля K .
       Если a | b и b | a, то элементы a, b ∈ R называются ассоции-
рованными. Покажем, что в этом случае b = ua, где u — обратимый
элемент. В самом деле, если a = 0, то b = ac = 0c = 0, так что a = 1·b,
а если a 6= 0, то a = bd = acd, откуда a(1 − cd) = 0. Тогда в силу
целостности R получаем 1 − cd = 0, так что cd = 1 и, следовательно, c, d
— обратимые элементы.
       Легко проверяются следующие
       Свойства делимости:
       1. a | b, b | c ⇒ a | c.
       2. c | a, c | b ⇒ c | (a ± b).
       3. a | b ⇒ a | bc.
       4. a | b1 ,. . . , a | bk ⇒ a | (b1 c1 + · · · + bk ck ) при любых c1 , . . . , ck ∈ R.
       Элемент p ∈ R, p - 1, называется простым, если его нельзя
представить в виде p = ab, где a - 1, b - 1. Простые элементы
кольца многочленов обычно называют неприводимыми многочленами.
Многочлен степени 1 всегда неприводим. В самом деле, если p = ab,
то 1 = deg p = deg a + deg b, откуда либо deg a = 0 и, следовательно,
a | 1, либо deg b = 0 и b | 1.

                  6.4 НОД и НОК в кольце многочленов

     Пусть R — целостное кольцо. Говорят, что d ∈ R является
наибольшим общим делителем элементов a, b ∈ R (обозначение: d =
НОД (a, b)), если
     1) d | a, d | b;
     2) c | a, c | b ⇒ c | d.
     Ясно, что НОД определяется с точностью до обратимого
множителя. Справедливы следующие свойства:
     1. НОД (a, b) = a ⇔ a | b.
     2. НОД (a, 0) = a.

                                             55