Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Проверим дистрибутивность:
[(f + g)h]
k
=
X
i+j=k
(f + g)
i
h
j
=
X
i+j=k
(f
i
+ g
i
)h
j
=
X
i+j=k
f
i
h
j
+
X
i+j=k
g
i
h
j
=
(fh)
k
+ (gh)
k
= (fh + gh)
k
, k = 0, 1, 2, . . .
следовательно, (f +g)h = fh +gh. Воспользовавшись коммутативностью
умножения, получаем и второй закон дистрибутивности: f(g + h) =
(g + h)f = gf + hf = fg + fh. Теперь убедимся в ассоциативности
уможения:
[(fg)h]
k
=
X
i+j=k
(fg)
i
h
j
=
X
i+j=k
³
X
s+t=i
f
s
g
t
´
h
j
=
X
s+t+j=k
f
s
g
t
h
j
.
Аналогичные выкладки дают то же выражение и для [f(gh)]
k
. Наконец,
непосредственная проверка показывает, что единицей в P является
последовательность (1, 0, 0, . . . ).C
Заметим, что с последовательностями вида (a, 0, 0, . . . ) операции
сложения и умножения выполняются так же, как и с элементами поля
K : (a, 0, 0, . . . ) + (b, 0, 0, . . . ) = (a + b, 0, 0, . . . ), (a, 0, 0, . . . )(b, 0, 0, . . . ) =
(ab, 0, 0, . . . ), кроме того, (a, 0, 0, . . . )(f
0
, f
1
, f
2
, . . . ) = (af
0
, af
1
, af
2
, . . . )
и (f
0
, f
1
, f
2
, . . . )(a, 0, 0, . . . ) = (af
0
, af
1
, af
2
, . . . ), поэтому такие элементы
кольца P удобно отождествлять с элементами из K и вместо (a, 0, 0, . . . )
писать просто a. В частности, единица (1, 0, 0, . . . ) кольца P при этом
приобретает привычную форму записи — 1.
Обозначим элемент (0, 1, 0, 0, 0, . . . ) ∈ P через X . Имеем:
X = (0, 1, 0, 0, 0, . . . )
X
2
= (0, 0, 1, 0, 0, . . . )
X
3
= (0, 0, 0, 1, 0, . . . )
и так далее. Удобно также считать, что X
0
= 1. Тогда
(f
0
, f
1
, . . . , f
n
, 0, 0, . . . ) =
(f
0
, 0, . . . , 0, 0, 0, . . . ) + (0, f
1
, . . . , 0, 0, 0, . . . ) + ···+ (0, 0, . . . , f
n
, 0, 0, . . . ) =
f
0
+f
1
X +···+f
n
X
n
=
X
k
f
k
X
k
.
Элемент X называется переменной или неизвестной, выражение
f = f
0
+ f
1
X + ··· + f
n
X
n
— многочленом (полиномом) от X ,
52
Проверим дистрибутивность:
               X               X                X         X
 [(f + g)h]k =   (f + g)i hj =   (fi + gi )hj =   fi hj +   gi hj =
                      i+j=k                       i+j=k                      i+j=k             i+j=k

                       (f h)k + (gh)k = (f h + gh)k ,                 k = 0, 1, 2, . . .
следовательно, (f + g)h = f h + gh. Воспользовавшись коммутативностью
умножения, получаем и второй закон дистрибутивности: f (g + h) =
(g + h)f = gf + hf = f g + f h. Теперь убедимся в ассоциативности
уможения:
                   X              X³X           ´     X
       [(f g)h]k =    (f g)i hj =          fs gt hj =    fs gt hj .
                           i+j=k                  i+j=k s+t=i                      s+t+j=k

Аналогичные выкладки дают то же выражение и для [f (gh)]k . Наконец,
непосредственная проверка показывает, что единицей в P является
последовательность (1, 0, 0, . . . ).C
       Заметим, что с последовательностями вида (a, 0, 0, . . . ) операции
сложения и умножения выполняются так же, как и с элементами поля
K : (a, 0, 0, . . . ) + (b, 0, 0, . . . ) = (a + b, 0, 0, . . . ), (a, 0, 0, . . . )(b, 0, 0, . . . ) =
(ab, 0, 0, . . . ), кроме того, (a, 0, 0, . . . )(f0 , f1 , f2 , . . . ) = (af0 , af1 , af2 , . . . )
и (f0 , f1 , f2 , . . . )(a, 0, 0, . . . ) = (af0 , af1 , af2 , . . . ), поэтому такие элементы
кольца P удобно отождествлять с элементами из K и вместо (a, 0, 0, . . . )
писать просто a. В частности, единица (1, 0, 0, . . . ) кольца P при этом
приобретает привычную форму записи — 1.
       Обозначим элемент (0, 1, 0, 0, 0, . . . ) ∈ P через X . Имеем:

                                          X = (0, 1, 0, 0, 0, . . . )
                                          X 2 = (0, 0, 1, 0, 0, . . . )
                                          X 3 = (0, 0, 0, 1, 0, . . . )

и так далее. Удобно также считать, что X 0 = 1. Тогда

(f0 , f1 , . . . , fn , 0, 0, . . . ) =

(f0 , 0, . . . , 0, 0, 0, . . . ) + (0, f1 , . . . , 0, 0, 0, . . . ) + · · · + (0, 0, . . . , fn , 0, 0, . . . ) =
                                                                                                     X
                                                                 f0 +f1 X +· · ·+fn X n =                  fk X k .
                                                                                                      k
Элемент X называется переменной или неизвестной, выражение
f = f0 + f1 X + · · · + fn X n — многочленом (полиномом) от X ,

                                                        52

Страницы