Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Ax = b. Следовательно, множества решений исходной и преобразованной
систем совпадают.C
5.2 Однородные системы
Система Ax = b называется однородной, если ее столбец свободных
членов — нулевой, то есть, b = 0. В противном случае система называется
неоднородной. Однородная система Ax = 0 имеет тривиальное решение
x = 0, поэтому она всегда совместна.
Пусть A — m × n-матрица. Легко проверяется
Лемма 5.2 Множество V
A
решений системы Ax = 0 является
подпространством пространства V n-мерных столбцов.C
Теорема 5.3 Пусть s = dim V
A
, r = rk A. Тогда r + s = n.
Доказательство. Выберем в V
A
базис {X
1
, . . . , X
s
} и дополним его до
базиса {X
1
, . . . , X
s
, . . . , X
n
} пространства V . Любой столбец X ∈ V
линейно выражается через векторы базиса:
X = λ
1
X
1
+ ··· + λ
s
X
s
+ ··· + λ
n
X
n
,
откуда
AX = λ
1
AX
1
+ ··· + λ
s
AX
s
+ ··· + λ
n
AX
n
= λ
s+1
AX
s+1
+ ··· + λ
n
AX
n
,
поскольку AX
1
= ··· = AX
s
= 0. Таким образом, любой столбец вида
AX есть линейная комбинация столбцов
˜
X
1
= AX
s+1
,. . . ,
˜
X
n−s
= AX
n
.
Покажем, что система {
˜
X
1
, . . . ,
˜
X
n−s
} линейно независима. В самом
деле,
0 = λ
1
˜
X
1
+ ··· + λ
n−s
˜
X
n−s
= λ
1
AX
s+1
+ ··· + λ
n−s
AX
n
=
A(λ
1
X
s+1
+ ··· + λ
n−s
X
n
)
влечет λ
1
X
s+1
+ ··· + λ
n−s
X
n
∈ V
A
, следовательно,
λ
1
X
s+1
+ ··· + λ
n−s
X
n
= µ
1
X
1
+ ··· + µ
s
X
s
для некоторых µ
1
, . . . , µ
s
, откуда
µ
1
X
1
+ ··· + µ
s
X
s
− λ
1
X
s+1
− ··· − λ
n−s
X
n
= 0.
Но {X
1
, . . . , X
s
, . . . , X
n
} — базис V , поэтому µ
1
= ··· = µ
s
= λ
1
= ··· =
λ
n−s
= 0.
46
Ax = b. Следовательно, множества решений исходной и преобразованной
систем совпадают.C

                         5.2 Однородные системы

     Система Ax = b называется однородной, если ее столбец свободных
членов — нулевой, то есть, b = 0. В противном случае система называется
неоднородной. Однородная система Ax = 0 имеет тривиальное решение
x = 0, поэтому она всегда совместна.
     Пусть A — m × n-матрица. Легко проверяется
Лемма 5.2 Множество VA решений системы Ax = 0 является
подпространством пространства V n-мерных столбцов.C
Теорема 5.3 Пусть s = dim VA , r = rk A. Тогда r + s = n.
Доказательство. Выберем в VA базис {X1 , . . . , Xs } и дополним его до
базиса {X1 , . . . , Xs , . . . , Xn } пространства V . Любой столбец X ∈ V
линейно выражается через векторы базиса:

                     X = λ1 X1 + · · · + λs Xs + · · · + λn Xn ,

откуда

AX = λ1 AX1 + · · · + λs AXs + · · · + λn AXn = λs+1 AXs+1 + · · · + λn AXn ,

поскольку AX1 = · · · = AXs = 0. Таким образом, любой столбец вида
AX есть линейная комбинация столбцов X̃1 = AXs+1 ,. . . , X̃n−s = AXn .
      Покажем, что система {X̃1 , . . . , X̃n−s } линейно независима. В самом
деле,
         0 = λ1 X̃1 + · · · + λn−s X̃n−s = λ1 AXs+1 + · · · + λn−s AXn =
                             A(λ1 Xs+1 + · · · + λn−s Xn )
влечет λ1 Xs+1 + · · · + λn−s Xn ∈ VA , следовательно,

                 λ1 Xs+1 + · · · + λn−s Xn = µ1 X1 + · · · + µs Xs

для некоторых µ1 , . . . , µs , откуда

              µ1 X1 + · · · + µs Xs − λ1 Xs+1 − · · · − λn−s Xn = 0.

Но {X1 , . . . , Xs , . . . , Xn } — базис V , поэтому µ1 = · · · = µs = λ1 = · · · =
λn−s = 0.

                                         46

Страницы