Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

матрицы A равен минору M
0
ji
матрицы A
t
= (a
0
ij
). Применив (4.7) к
определителю матрицы A
t
, получаем
det A = det A
t
=
n
X
k=1
(−1)
k+i
a
0
ki
M
0
ki
=
n
X
k=1
(−1)
i+k
a
ik
M
ik
=
n
X
k=1
a
ik
A
ik
,
то есть, справедливо (4.6).C
4.5 Применение определителей
Воспользуемся полученными выше результатами об определителях
для решения следующих задач.
1. Критерий обратимости матрицы в терминах определителя.
Пусть A = (a
ij
) — матрица порядка n. Для каждого элемента
матрицы A найдем его алгебраическое дополнение и составим из них
присоединенную матрицу
A
∨
=
A
11
A
21
. . . A
n1
A
12
A
22
. . . A
n2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
1n
A
2n
. . . A
nn
.
Лемма 4.7 AA
∨
= (det A)E .
Доказательство. С учетом формулы (4.6) имеем
(AA
∨
)
ii
=
n
X
k=1
a
ik
A
ik
= det A.
Пусть теперь i 6= j . Обозначим через
¯
A матрицу, которая получается,
если в A j -ю строку заменить на i-ю. Так как
¯
A содержит две
одинаковых строки, ее определитель равен 0. С другой стороны, разложив
det
¯
A по j -й строке, получаем
det
¯
A =
n
X
k=1
¯a
jk
A
jk
=
n
X
k=1
a
ik
A
jk
= (AA
∨
)
ij
,
так что (AA
∨
)
ij
= 0 при i 6= j . Следовательно, AA
∨
= (det A)E .C
Теорема 4.8 (критерий обратимости) Матрица A обратима тогда
и только тогда, когда det A 6= 0. Если det A 6= 0, то
A
−1
=
1
det A
A
∨
. (4.8)
40
матрицы A равен минору Mji0 матрицы At = (a0ij ). Применив (4.7) к
определителю матрицы At , получаем
                  n
                  X                n
                                   X                n
                                                    X
                t       k+i 0 0          i+k
  det A = det A =   (−1) aki Mki =   (−1) aik Mik =   aik Aik ,
                     k=1                            k=1                    k=1

то есть, справедливо (4.6).C

                    4.5 Применение определителей

     Воспользуемся полученными выше результатами об определителях
для решения следующих задач.
     1. Критерий обратимости матрицы в терминах определителя.
     Пусть A = (aij ) — матрица порядка n. Для каждого элемента
матрицы A найдем его алгебраическое дополнение и составим из них
присоединенную матрицу
                                              
                           A11 A21 . . . An1
                         A A ... A 
                     ∨   12       22       n2 
                   A =  ..      .
                                 ..   . .. .. 
                                           .     .
                         .                    
                           A1n A2n . . . Ann
Лемма 4.7 AA∨ = (det A)E .
Доказательство. С учетом формулы (4.6) имеем
                                       n
                                       X
                             ∨
                       (AA )ii =              aik Aik = det A.
                                       k=1

Пусть теперь i 6= j . Обозначим через Ā матрицу, которая получается,
если в A j -ю строку заменить на i-ю. Так как Ā содержит две
одинаковых строки, ее определитель равен 0. С другой стороны, разложив
det Ā по j -й строке, получаем
                           n
                           X                  n
                                              X
               det Ā =          ājk Ajk =         aik Ajk = (AA∨ )ij ,
                           k=1                k=1

так что (AA∨ )ij = 0 при i 6= j . Следовательно, AA∨ = (det A)E .C
Теорема 4.8 (критерий обратимости) Матрица A обратима тогда
и только тогда, когда det A 6= 0. Если det A 6= 0, то
                                            1
                                  A−1 =         A∨ .                             (4.8)
                                          det A
                                          40

Страницы