Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4.4 Разложение определителя по строке (столбцу)
Пусть A = (a
ij
) матрица порядка n. Дополняющим минором
M
ij
элемента a
ij
называется определитель матрицы, полученной
вычеркиванием из матрицы A i-й строки и j -го столбца. Число
A
ij
= (−1)
i+j
M
ij
называется алгебраическим дополнением элемента a
ij
.
Теорема 4.6 Пусть A = (a
ij
) — матрица порядка n. Для всех i
справедливы равенства
det A =
n
X
k=1
(−1)
i+k
a
ik
M
ik
=
n
X
k=1
a
ik
A
ik
, (4.6)
det A =
n
X
k=1
(−1)
k+i
a
ki
M
ki
=
n
X
k=1
a
ki
A
ki
, (4.7)
называемые формулами разложения определителя по строке и,
соответственно, столбцу.
Доказательство. Сначала докажем (4.7). Представим i-й столбец
матрицы A в виде суммы n столбцов:
A
(i)
= (a
1i
0 . . . 0)
t
+ ··· + (0 0 . . . a
ni
)
t
.
Тогда
det A =
n
X
k=1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
. . . 0 . . . a
1n
. . . . . .
a
k1
. . . a
ki
. . . a
kn
. . . . . .
a
n1
. . . 0 . . . a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Вычислим отдельно k-е слагаемое получившейся суммы. Последо-
вательно меняя местами i-й столбец с каждым предыдущим столбцом,
переставим его на место первого столбца. При этом мы i − 1 раз
применили элементарное преобразование I-го рода, поэтому
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
. . . 0 . . . a
1n
. . . . . .
a
k1
. . . a
ki
. . . a
kn
. . . . . .
a
n1
. . . 0 . . . a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= (−1)
i−1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 a
11
. . . a
1n
. . . . . .
a
ki
a
k1
. . . a
kn
. . . . . .
0 a
n1
. . . a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
38
        4.4 Разложение определителя по строке (столбцу)

     Пусть A = (aij ) матрица порядка n. Дополняющим минором
Mij элемента aij называется определитель матрицы, полученной
вычеркиванием из матрицы A i-й строки и j -го столбца. Число
Aij = (−1)i+j Mij называется алгебраическим дополнением элемента aij .
Теорема 4.6 Пусть A = (aij ) — матрица порядка n. Для всех i
справедливы равенства
                           n
                           X                              n
                                                          X
                                        i+k
                det A =          (−1)         aik Mik =         aik Aik ,   (4.6)
                           k=1                            k=1
                           n
                           X                              n
                                                          X
                                        k+i
                det A =          (−1)         aki Mki =         aki Aki ,   (4.7)
                           k=1                            k=1
называемые формулами разложения определителя по строке и,
соответственно, столбцу.
Доказательство. Сначала докажем (4.7). Представим i-й столбец
матрицы A в виде суммы n столбцов:

                A(i) = (a1i 0 . . . 0)t + · · · + (0 0 . . . ani )t .

Тогда                        ¯                                       ¯
                             ¯a           ... 0       . . . a1n      ¯
                             ¯ 11                                    ¯
                             ¯                                       ¯
                         X ¯¯
                          n               ...         ...            ¯
                                                                     ¯
                 det A =     ¯ ak1        . . . aki   . . . akn      ¯.
                             ¯                                       ¯
                         k=1 ¯            ...         ...            ¯
                             ¯                                       ¯
                             ¯                                       ¯
                             ¯ an1        ... 0       . . . ann      ¯
Вычислим отдельно k -е слагаемое получившейся суммы. Последо-
вательно меняя местами i-й столбец с каждым предыдущим столбцом,
переставим его на место первого столбца. При этом мы i − 1 раз
применили элементарное преобразование I-го рода, поэтому
        ¯                         ¯           ¯                   ¯
        ¯ a ... 0 ... a ¯                     ¯ 0 a ... a ¯
        ¯ 11                   1n ¯           ¯      11        1n ¯
        ¯                         ¯           ¯                   ¯
        ¯     ...       ...       ¯           ¯     ... ...       ¯
        ¯                         ¯           ¯                   ¯
        ¯ ak1 . . . aki . . . akn ¯ = (−1)i−1 ¯ aki ak1 . . . akn ¯ .
        ¯                         ¯           ¯                   ¯
        ¯     ...       ...       ¯           ¯     ... ...       ¯
        ¯                         ¯           ¯                   ¯
        ¯                         ¯           ¯                   ¯
        ¯ an1 . . . 0 . . . ann ¯             ¯ 0 an1 . . . ann ¯

                                          38

Страницы