Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Согласно (4.1) имеем
det E =
X
α∈S
n
ε
α
δ
1α(1)
. . . δ
nα(n)
.
Если α(i) 6= i для некоторого i, то δ
iα(i)
= 0, следовательно, равно
нулю и все содержащее δ
iα(i)
произведение, поэтому под знаком суммы
в последнем выражении остается только произведение, отвечающее
тождественной перестановке, то есть, det E = ε
e
δ
11
. . . δ
nn
. Но ε
e
= 1
и δ
ii
= 1 при любом i, значит, det E = 1.C
4.3 Свойства полилинейных кососимметрических функций
Пусть D — произвольная полилинейная кососимметрическая
функция строк матрицы A, то есть, функция, обладающая свойствами
D1 и D2.
D4. D(λA) = λ
n
D(A).
Доказательство. Воспользовавшись n раз свойством D1, получаем
D(λA) = D(λA
(1)
, . . . , λA
(n)
) = λ
n
D(A
(1)
, . . . , A
(n)
) = λ
n
D(A).C
D5. Если A содержит нулевую строку, то D(A) = 0.
Доказательство. Пусть A
(i)
= 0. Тогда A
(i)
= 0·A
(i)
, следовательно, в
силу D1 имеем
D(A) = D(A
(1)
, . . . , A
(i)
, . . . , A
(n)
) =
D(A
(1)
, . . . , 0·A
(i)
, . . . , A
(n)
) = 0·D(A) = 0.C
D6. Если матрица A содержит две одинаковых строки, то D(A) = 0.
Доказательство. Пусть i 6= j и A
(i)
= A
(j)
. Согласно D2, если в матрице
A поменять местами i-ю и j -ю строки, то D(A) поменяет знак. С другой
стороны, от перестановки одинаковых строк матрица A не изменится.
Следовательно, D(A) = −D(A), откуда, D(A) = 0.
D7. При элементарных преобразованиях строк II-го рода матрицы A
значение D(A) не меняется.
Доказательство. Воспользуемся свойствами D1 и D6:
D(. . . , A
(i)
, . . . , λA
(i)
+ A
(j)
, . . . ) = λD(. . . , A
(i)
, . . . , A
(i)
, . . . ) +
34
Доказательство. Согласно (4.1) имеем
                             X
                    det E =      εα δ1α(1) . . . δnα(n) .
                                            α∈Sn

Если α(i) 6= i для некоторого i, то δiα(i) = 0, следовательно, равно
нулю и все содержащее δiα(i) произведение, поэтому под знаком суммы
в последнем выражении остается только произведение, отвечающее
тождественной перестановке, то есть, det E = εe δ11 . . . δnn . Но εe = 1
и δii = 1 при любом i, значит, det E = 1.C

  4.3 Свойства полилинейных кососимметрических функций

     Пусть D — произвольная полилинейная кососимметрическая
функция строк матрицы A, то есть, функция, обладающая свойствами
D1 и D2.
D4. D(λA) = λn D(A).
Доказательство. Воспользовавшись n раз свойством D1, получаем

      D(λA) = D(λA(1) , . . . , λA(n) ) = λn D(A(1) , . . . , A(n) ) = λn D(A).C

D5. Если A содержит нулевую строку, то D(A) = 0.
Доказательство. Пусть A(i) = 0. Тогда A(i) = 0·A(i) , следовательно, в
силу D1 имеем
      D(A) = D(A(1) , . . . , A(i) , . . . , A(n) ) =
                               D(A(1) , . . . , 0·A(i) , . . . , A(n) ) = 0·D(A) = 0.C
D6. Если матрица A содержит две одинаковых строки, то D(A) = 0.
Доказательство. Пусть i 6= j и A(i) = A(j) . Согласно D2, если в матрице
A поменять местами i-ю и j -ю строки, то D(A) поменяет знак. С другой
стороны, от перестановки одинаковых строк матрица A не изменится.
Следовательно, D(A) = −D(A), откуда, D(A) = 0.
D7. При элементарных преобразованиях строк II-го рода матрицы A
значение D(A) не меняется.
Доказательство. Воспользуемся свойствами D1 и D6:

 D(. . . , A(i) , . . . , λA(i) + A(j) , . . . ) = λD(. . . , A(i) , . . . , A(i) , . . . ) +

                                                   34

Страницы