Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

следовательно, инверсию образуют числа i + 1 и i + l, находящиеся на
одну позицию ближе друг к другу, чем i и i+ l. Ясно, что через конечное
число шагов нужная пара соседних чисел будет найдена.
Итак, пусть i и i + 1 образуют инверсию. Рассмотрим перестановку
α
0
= τα, где τ = (α(i), α(i+ 1)). Нетрудно видеть, что α
0
содержит ровно
на одну инверсию меньше, чем α, значит, по предположению индукции
ε
α
0
= (−1)
k−1
. Но тогда из равенства α = τα
0
выводим ε
α
= ε
τ
ε
α
0
=
(−1)(−1)
k−1
= (−1)
k
.C
§4. Определители
Пусть A = (a
ij
) — матрица порядка n над полем K . Сопоставим
ей элемент поля, вычисляемый по формуле
det A =
X
α∈S
n
ε
α
a
1α(1)
a
2α(2)
. . . a
nα(n)
(4.1)
и называемый ее определителем. Также для обозначения определителя
используется запись матрицы в прямых скобках. Выпишем формулу
(4.1), называемую формулой полного развертывания, в явном виде при
малых значениях n:
n = 1. det A = a
11
.
n = 2.
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
21
a
22
¯
¯
¯
¯
¯
= a
11
a
22
− a
12
a
21
.
n = 3.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
−
a
13
a
22
a
31
− a
11
a
23
a
32
− a
12
a
21
a
33
.
При n > 3 количество слагаемых в правой части (4.1) быстро
возрастает (при n = 4 формула содержит 24 слагаемых, при n = 5 —
уже 120), поэтому для вычисления определителей больших порядков, как
правило, используются специальные приемы, опирающиеся на различные
свойства определителей, о которых пойдет речь ниже.
4.1 Определитель транспонированной матрицы
Следующая теорема показывает, что определитель матрицы не
меняется при ее транспонировании:
31
следовательно, инверсию образуют числа i + 1 и i + l , находящиеся на
одну позицию ближе друг к другу, чем i и i + l . Ясно, что через конечное
число шагов нужная пара соседних чисел будет найдена.
      Итак, пусть i и i + 1 образуют инверсию. Рассмотрим перестановку
α0 = τ α, где τ = (α(i), α(i + 1)). Нетрудно видеть, что α0 содержит ровно
на одну инверсию меньше, чем α, значит, по предположению индукции
εα0 = (−1)k−1 . Но тогда из равенства α = τ α0 выводим εα = ετ εα0 =
(−1)(−1)k−1 = (−1)k .C

                           §4. Определители
      Пусть A = (aij ) — матрица порядка n над полем K . Сопоставим
ей элемент поля, вычисляемый по формуле
                           X
                   det A =     εα a1α(1) a2α(2) . . . anα(n)   (4.1)
                               α∈Sn

и называемый ее определителем. Также для обозначения определителя
используется запись матрицы в прямых скобках. Выпишем формулу
(4.1), называемую формулой полного развертывания, в явном виде при
малых значениях n:

     n = 1. det A = a11 .
            ¯         ¯
            ¯a a ¯
            ¯ 11 12 ¯
     n = 2. ¯         ¯ = a11 a22 − a12 a21 .
            ¯ a21 a22 ¯
            ¯              ¯
            ¯a a a ¯
            ¯ 11 12 13 ¯
            ¯              ¯
     n = 3. ¯ a21 a22 a23 ¯ = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 −
            ¯              ¯
            ¯ a31 a32 a33 ¯               a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 .
     При n > 3 количество слагаемых в правой части (4.1) быстро
возрастает (при n = 4 формула содержит 24 слагаемых, при n = 5 —
уже 120), поэтому для вычисления определителей больших порядков, как
правило, используются специальные приемы, опирающиеся на различные
свойства определителей, о которых пойдет речь ниже.

         4.1 Определитель транспонированной матрицы

     Следующая теорема показывает, что определитель матрицы не
меняется при ее транспонировании:

                                        31

Страницы