Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

α
s
, действующую по правилу: α
s
(j) =
(
α(j), j ∈ [i
s
]
j , j 6∈ [i
s
]
, то есть,
α
s
точно так же, как и α, циклически переставляет элементы из
[i
s
], но прочие элементы оставляет неизменными. Перестановки такого
рода принято называть циклическими или циклами, а количество
переставляемых циклом элементов — его длиной. Поскольку каждый цикл
α
s
переставляет элементы только из своего класса эквивалентности [i
s
],
циклы α
1
,. . . , α
t
называют независимыми. Ясно, что α = α
1
. . . α
t
. Тем
самым, доказана
Теорема 3.4 Любая перестановка представима в виде произведения
независимых циклов.C
Циклическую перестановку длины k, переводящую j
1
в j
2
, j
2
в j
3
, . . . ,
j
k−1
в j
k
и j
k
снова в j
1
, удобно записывать в виде (j
1
, j
2
, . . . , j
k
). Циклы
длины 2 называют транспозициями.
Следствие 3.5 Любая перестановка представима в виде произведения
транспозиций.
Доказательство. С учетом теоремы 3.4 достаточно разложить в произ-
ведение транспозиций произвольный цикл. Для упрощения обозначений
можно считать, что циклически переставляются числа 1, 2,. . . , k.
Непосредственно проверяется, что
(1, 2, . . . , k) = (1, k)(1, k − 1) . . . (1, 3)(1, 2).C
3.2 Действие перестановок на функциях n переменных.
Четность перестановки
Пусть X — непустое множество. Для каждой функции f : X
n
→ R
и каждой перестановки α ∈ S
n
определим новую функцию α ◦ f по
правилу: (α ◦ f)(x
1
, . . . , x
n
) = f(x
α(1)
, . . . , x
α(n)
). Легко проверяются
свойства:
1. e ◦ f = f , где e ∈ S
n
— тождественная перестановка.
2. α ◦ (β ◦ f) = (αβ) ◦ f для всех α, β ∈ S
n
.
(Используя терминологию теории групп, говорят, что группа пере-
становок действует на множестве функций.)
Функция f называется кососимметрической, если α ◦ f = −f для
любой транспозиции α вида (i, i + 1), иначе говоря, кососимметрическая
28
                                                        (
                                               α(j), j ∈ [is ]
αs , действующую по правилу: αs (j) =                            , то есть,
                                                  j , j 6∈ [is ]
αs точно так же, как и α, циклически переставляет элементы из
[is ], но прочие элементы оставляет неизменными. Перестановки такого
рода принято называть циклическими или циклами, а количество
переставляемых циклом элементов — его длиной. Поскольку каждый цикл
αs переставляет элементы только из своего класса эквивалентности [is ],
циклы α1 ,. . . , αt называют независимыми. Ясно, что α = α1 . . . αt . Тем
самым, доказана
Теорема 3.4 Любая перестановка представима в виде произведения
независимых циклов.C
Циклическую перестановку длины k , переводящую j1 в j2 , j2 в j3 , . . . ,
jk−1 в jk и jk снова в j1 , удобно записывать в виде (j1 , j2 , . . . , jk ). Циклы
длины 2 называют транспозициями.
Следствие 3.5 Любая перестановка представима в виде произведения
транспозиций.
Доказательство. С учетом теоремы 3.4 достаточно разложить в произ-
ведение транспозиций произвольный цикл. Для упрощения обозначений
можно считать, что циклически переставляются числа 1, 2,. . . , k .
Непосредственно проверяется, что

                (1, 2, . . . , k) = (1, k)(1, k − 1) . . . (1, 3)(1, 2).C

    3.2 Действие перестановок на функциях n переменных.
                    Четность перестановки
     Пусть X — непустое множество. Для каждой функции f : X n → R
и каждой перестановки α ∈ Sn определим новую функцию α ◦ f по
правилу: (α ◦ f )(x1 , . . . , xn ) = f (xα(1) , . . . , xα(n) ). Легко проверяются
свойства:
     1. e ◦ f = f , где e ∈ Sn — тождественная перестановка.
     2. α ◦ (β ◦ f ) = (αβ) ◦ f для всех α, β ∈ Sn .
(Используя терминологию теории групп, говорят, что группа пере-
становок действует на множестве функций.)
     Функция f называется кососимметрической, если α ◦ f = −f для
любой транспозиции α вида (i, i + 1), иначе говоря, кососимметрическая

                                           28

Страницы