Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где в первой строке перечислены элементы множества Ω
n
, а во второй
— их образы при действии α. Именно с такими таблицами будем в
дальнейшем связывать термин “перестановка”. Следует подчеркнуть, что
порядок расположения столбцов таблицы, задающей перестановку, может
быть произвольным.
Теорема 3.2 (S
n
, ·) — группа.
Доказательство. Ассоциативность произведения перестановок вытекает
из леммы 3.1. Непосредственно проверяется, что единицей в S
n
является
тождественная перестановка e =
Ã
1 2 . . . n
1 2 . . . n
!
, а обратным к α
элементом — перестановка α
−1
=
Ã
α(1) α(2) . . . α(n)
1 2 . . . n
!
.C
Заметим, что группа S
n
при n ≥ 3 не является коммутативной. В
самом деле, например, для α =
Ã
1 2 3
2 1 3
!
и β =
Ã
1 2 3
2 3 1
!
имеем
αβ =
Ã
1 2 3
1 3 2
!
, но βα =
Ã
1 2 3
3 2 1
!
.
Изучим более подробно строение элементов группы S
n
. Каждую
перестановку α ∈ S
n
можно возвести в степень, причем, полагая α
0
= e и
α
−k
= (α
−1
)
k
, можно рассматривать степени с любым целым показателем.
Вполне очевидны обычные свойства степеней: α
k
α
l
= α
k+l
, (α
k
)
l
= α
kl
.
Фиксируем перестановку α ∈ S
n
. Будем говорить, что числа
i, j ∈ Ω
n
α-эквивалентны (обозначение: i ∼ j ), если j = α
k
(i) для
некоторого k ∈ Z. Легко проверяются свойства:
1. i ∼ i для любого i ∈ Ω
n
(рефлексивность).
2. Если i ∼ j , то j ∼ i (симметричность).
3. Если i ∼ j и j ∼ k, то i ∼ k (транзитивность).
(Используя терминологию теории бинарных отношений, можно сказать,
что ∼ есть отношение эквивалентности на Ω
n
.)
Каждому числу i ∈ Ω
n
сопоставим множество [i] = {j ∈ Ω
n
:
j ∼ i}, называемое классом α-эквивалентности числа i. Заметим, что
[i] 6= ∅, так как i ∈ [i]. Классы α-эквивалентности обладают следующими
свойствами:
1
◦
. Если k ∈ [i], то [k] = [i].
26
где в первой строке перечислены элементы множества Ωn , а во второй
— их образы при действии α. Именно с такими таблицами будем в
дальнейшем связывать термин “перестановка”. Следует подчеркнуть, что
порядок расположения столбцов таблицы, задающей перестановку, может
быть произвольным.
Теорема 3.2 (Sn , ·) — группа.
Доказательство. Ассоциативность произведения перестановок вытекает
из леммы 3.1. Непосредственно проверяется, Ã       что единицей
                                                          !       в Sn является
                                              1 2 ... n
тождественная перестановка e =                              , а обратным к α
                                              1 2 ... n
                                         Ã                       !
                                           α(1) α(2) . . . α(n)
элементом — перестановка α−1 =                                     .C
                                            1     2 ...      n
       Заметим, что группа Sn приÃn ≥ 3 не!является à         коммутативной.
                                                                       !      В
                                           1 2 3                1 2 3
самом деле, например, для α =                       и β =                имеем
                                           2 1 3                2 3 1
        Ã          !             Ã          !
            1 2 3                  1 2 3
αβ =                 , но βα =                 .
            1 3 2                  3 2 1
       Изучим более подробно строение элементов группы Sn . Каждую
перестановку α ∈ Sn можно возвести в степень, причем, полагая α0 = e и
α−k = (α−1 )k , можно рассматривать степени с любым целым показателем.
Вполне очевидны обычные свойства степеней: αk αl = αk+l , (αk )l = αkl .
       Фиксируем перестановку α ∈ Sn . Будем говорить, что числа
i, j ∈ Ωn α-эквивалентны (обозначение: i ∼ j ), если j = αk (i) для
некоторого k ∈ Z. Легко проверяются свойства:
       1. i ∼ i для любого i ∈ Ωn (рефлексивность).
       2. Если i ∼ j , то j ∼ i (симметричность).
       3. Если i ∼ j и j ∼ k , то i ∼ k (транзитивность).
(Используя терминологию теории бинарных отношений, можно сказать,
что ∼ есть отношение эквивалентности на Ωn .)
       Каждому числу i ∈ Ωn сопоставим множество [i] = {j ∈ Ωn :
j ∼ i}, называемое классом α-эквивалентности числа i. Заметим, что
[i] 6= ∅, так как i ∈ [i]. Классы α-эквивалентности обладают следующими
свойствами:
        1◦ . Если k ∈ [i], то [k] = [i].


                                      26

Страницы