Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Непустое подмножество векторного пространства называется под-
пространством, если оно замкнуто относительно сложения и умножения
на элементы поля.
Множество {
P
i
λ
i
a
i
: λ
i
∈K для всех i} всевозможных линейных
комбинаций векторов системы {a
1
, . . . , a
k
} называется их линейной
оболочкой и обозначается ha
1
, . . . , a
k
i. Линейная оболочка всегда
является подпространством. Размерность линейной оболочки равна
рангу образующей системы, то есть, dimha
1
, . . . , a
k
i = rk{a
1
, . . . , a
k
}.
Имеет место
Лемма 2.7 Если каждый вектор системы {a
1
, . . . , a
k
} линейно
выражается через векторы системы {b
1
, . . . , b
m
}, то rk{a
1
, . . . , a
k
} ≤
rk{b
1
, . . . , b
m
}.
Вернемся к матрицам. Каждую m × n-матрицу A можно рас-
сматривать как систему {A
(1)
, . . . , A
(m)
} строк — векторов n-мерного
пространства. Ранг этой системы называется рангом матрицы A
по строкам и обозначается rk
г
(A). Ранг rk
в
(A) системы столбцов
{A
(1)
, . . . , A
(n)
} матрицы A называется ее рангом по столбцам.
Предложение 2.8 Величины rk
г
(A) и rk
в
(A) не меняются при
элементарных преобразованиях строк матрицы A.
Доказательство. Достаточно ограничиться случаем, когда матрица
˜
A
получена из A с помощью одного элементарного преобразования.
1. Сначала докажем равенство rk
г
(A) = rk
г
(
˜
A). Возможны три
случая.
1) К A было применено преобразование F
st
I-го рода. В этом
случае изменился лишь порядок векторов системы, но не сама система,
следовательно, не изменился и ее ранг.
2) К A было применено преобразование F
st
(λ) II-го рода. Системы
строк матриц A и
˜
A линейно выражаются друг через друга:
˜
A
(1)
= A
(1)
A
(1)
=
˜
A
(1)
. . . . . .
˜
A
(s)
= A
(s)
A
(s)
=
˜
A
(s)
. . . . . .
21
     Непустое подмножество векторного пространства называется под-
пространством, если оно замкнуто относительно сложения и умножения
на элементы поля.
                  P
     Множество { λi ai : λi ∈K для всех i} всевозможных линейных
                     i
комбинаций векторов системы {a1 , . . . , ak } называется их линейной
оболочкой и обозначается ha1 , . . . , ak i. Линейная оболочка всегда
является подпространством. Размерность линейной оболочки равна
рангу образующей системы, то есть, dimha1 , . . . , ak i = rk{a1 , . . . , ak }.
Имеет место
Лемма 2.7 Если каждый вектор системы {a1 , . . . , ak } линейно
выражается через векторы системы {b1 , . . . , bm }, то rk{a1 , . . . , ak } ≤
rk{b1 , . . . , bm }.
       Вернемся к матрицам. Каждую m × n-матрицу A можно рас-
сматривать как систему {A(1) , . . . , A(m) } строк — векторов n-мерного
пространства. Ранг этой системы называется рангом матрицы A
по строкам и обозначается rkг (A). Ранг rkв (A) системы столбцов
{A(1) , . . . , A(n) } матрицы A называется ее рангом по столбцам.
Предложение 2.8 Величины rkг (A) и rkв (A) не меняются при
элементарных преобразованиях строк матрицы A.
Доказательство. Достаточно ограничиться случаем, когда матрица Ã
получена из A с помощью одного элементарного преобразования.
     1. Сначала докажем равенство rkг (A) = rkг (Ã). Возможны три
случая.
     1) К A было применено преобразование Fst I-го рода. В этом
случае изменился лишь порядок векторов системы, но не сама система,
следовательно, не изменился и ее ранг.
     2) К A было применено преобразование Fst (λ) II-го рода. Системы
строк матриц A и Ã линейно выражаются друг через друга:


                    Ã(1) = A(1)            A(1) = Ã(1)
                          ...                    ...
                    Ã(s) = A(s)            A(s) = Ã(s)
                          ...                    ...

                                      21

Страницы