Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 20 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

преобразованиями строк A приведена к матрице
˜
A, содержащей нулевую
строку. В силу лемм 2.2 и 2.3 найдется обратимая матрица F такая,
что
˜
A = F A. Тогда
˜
A(BF
1
) = F ABF
1
= F EF
1
= F F
1
= E , то
есть, содержащая нулевую строку матрица
˜
A обратима справа, но выше
было показано, что это невозможно. Следовательно, в A нулевую строку
получить нельзя. C
Следствие 2.5 Если m × n-матрица A обратима, то m = n.
Доказательство. Матрица A обратима, следовательно, обратима справа.
Воспользовавшись леммой 2.1, приведем A к ступенчатому виду
˜
A.
В силу предложения 2.4 матрица
˜
A не содержит нулевых строк, но с
учетом строения матрицы ступенчатого вида (см. (2.1)) это возможно
только при m n. С помощью аналогичных рассуждений об обратимой
(см. упражнение 2.1) матрице A
t
получаем неравенство n m.C
Теорема 2.6 Квадратная матрица A обратима справа она
обратима слева.
Доказательство. (): Пусть A обратима справа, то есть, AB = E для
некоторой матрицы B . Как и в предыдущем доказательстве заметим,
что матрица A после приведения к ступенчатому виду
˜
A не содержит
нулевых строк. Но для квадратной матрицы это возможно только
тогда, когда вершины всех ступенек находятся на главной диагонали.
Таким образом, все диагональные элементы ˜a
11
,. . . , ˜a
nn
отличны от
нуля. Следовательно, элементарными преобразованиями строк II-го рода
матрицу
˜
A можно привести к диагональной матрице diaga
11
, . . . , ˜a
nn
].
(Сначала с помощью преобразований F
ni
(˜a
in
/˜a
nn
) обнуляем первые
n 1 элементов последнего столбца, затем, используя предпоследнюю
строку, обнуляем первые n 2 элементов предпоследнего столбца и так
далее.) Наконец, с помощью элементарных преобразований III-го рода
диагональная матрица превращается в единичную.
Итак, обратимую справа квадратную матрицу A элементарными
преобразованиями строк можно привести к единичной матрице E . Ввиду
леммы 2.2 это означает, что существует такая матрица F , что F A = E ,
следовательно, A обратима слева.
(): Если A обратима слева, то BA = E для некоторой матри-
цы B . Ясно, что B обратима справа. Тогда в силу первой части доказа-
18
преобразованиями строк A приведена к матрице Ã, содержащей нулевую
строку. В силу лемм 2.2 и 2.3 найдется обратимая матрица F такая,
что Ã = F A. Тогда Ã(BF −1 ) = F ABF −1 = F EF −1 = F F −1 = E , то
есть, содержащая нулевую строку матрица Ã обратима справа, но выше
было показано, что это невозможно. Следовательно, в A нулевую строку
получить нельзя. C
Следствие 2.5 Если m × n-матрица A обратима, то m = n.
Доказательство. Матрица A обратима, следовательно, обратима справа.
Воспользовавшись леммой 2.1, приведем A к ступенчатому виду Ã.
В силу предложения 2.4 матрица Ã не содержит нулевых строк, но с
учетом строения матрицы ступенчатого вида (см. (2.1)) это возможно
только при m ≤ n. С помощью аналогичных рассуждений об обратимой
(см. упражнение 2.1) матрице At получаем неравенство n ≤ m.C
Теорема 2.6 Квадратная матрица A обратима справа ⇔ она
обратима слева.
Доказательство. (⇒): Пусть A обратима справа, то есть, AB = E для
некоторой матрицы B . Как и в предыдущем доказательстве заметим,
что матрица A после приведения к ступенчатому виду Ã не содержит
нулевых строк. Но для квадратной матрицы это возможно только
тогда, когда вершины всех ступенек находятся на главной диагонали.
Таким образом, все диагональные элементы ã11 ,. . . , ãnn отличны от
нуля. Следовательно, элементарными преобразованиями строк II-го рода
матрицу Ã можно привести к диагональной матрице diag[ã11 , . . . , ãnn ].
(Сначала с помощью преобразований Fni (−ãin /ãnn ) обнуляем первые
n − 1 элементов последнего столбца, затем, используя предпоследнюю
строку, обнуляем первые n − 2 элементов предпоследнего столбца и так
далее.) Наконец, с помощью элементарных преобразований III-го рода
диагональная матрица превращается в единичную.
      Итак, обратимую справа квадратную матрицу A элементарными
преобразованиями строк можно привести к единичной матрице E . Ввиду
леммы 2.2 это означает, что существует такая матрица F , что F A = E ,
следовательно, A обратима слева.
      (⇐): Если A обратима слева, то BA = E для некоторой матри-
цы B . Ясно, что B обратима справа. Тогда в силу первой части доказа-

                                     18