Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3.4. Не всегда AB = BA.
Доказательство. Проверим свойство 3.1. Пусть A имеет размеры
m ×n, B — n ×k, C — k ×l. Тогда и (AB)C , и A(BC) имеют размеры
m × l. Проверим равенство соответствующих элементов:
¡
(AB)C
¢
ij
=
X
s
(AB)
is
c
sj
=
X
s
³
X
t
a
it
b
ts
´
c
sj
=
X
s, t
a
it
b
ts
c
sj
.
Аналогично,
¡
A(BC)
¢
ij
=
X
s, t
a
it
b
ts
c
sj
,
следовательно, (AB)C = A(BC). Схожим образом устанавливается
справедливость свойств 3.2 и 3.3. Наконец, равенства AB = BA в 3.4
может не быть, например, из-за несоответствия размеров, а именно, если
A — m × n-матрица, B — n × k -матрица и m 6= k, то произведение AB
определено, а BA — нет. Если же m = k, но m 6= n, то определены
оба произведения AB и BA, но они имеют разные размеры — m × m
и n × n. И даже если m = n = k (то есть, A, B , AB , BA —
квадратные матрицы одного порядка), то AB необязательно совпадает
с BA, в чем легко убедиться, перемножив, например, вещественные
матрицы A =
Ã
1 0
0 0
!
и B =
Ã
0 1
0 0
!
. В самом деле, непосредственные
вычисления показывают, что AB = B , а BA = 0.C
Обозначим через E
n
= (δ
ij
) диагональную матрицу порядка n, все
диагональные элементы которой равны 1. Такая матрица называется
единичной. (В случае, когда порядок фиксирован, нижний индекс у
единичной матрицы обычно опускают и вместо E
n
пишут просто E .)
Числа δ
ij
=
(
1, i = j
0, i 6= j
называют символами Кронекера. Вполне оче-
видно свойство
3.5. Если A — m × n-матрица, то E
m
A = AE
n
= A.
Из приведенных выше рассуждений ясно, что с точки зрения
выполнимости всевозможных операций наиболее удачным является
множество M
n
(K) матриц порядка n над K . Свойства 1.1–1.4, 3.1–
3.5 показывают, что M
n
(K) является ассоциативным некоммутативным
кольцом с единицей E .
14
     3.4. Не всегда AB = BA.
      Доказательство. Проверим свойство 3.1. Пусть A имеет размеры
m × n, B — n × k , C — k × l . Тогда и (AB)C , и A(BC) имеют размеры
m × l . Проверим равенство соответствующих элементов:
       ¡      ¢    X               X³X           ´      X
        (AB)C ij =    (AB)is csj =        ait bts csj =   ait bts csj .
                    s                    s           t               s, t

Аналогично,                                   X
                        ¡           ¢
                            A(BC)   ij
                                         =           ait bts csj ,
                                              s, t

следовательно, (AB)C = A(BC). Схожим образом устанавливается
справедливость свойств 3.2 и 3.3. Наконец, равенства AB = BA в 3.4
может не быть, например, из-за несоответствия размеров, а именно, если
A — m × n-матрица, B — n × k -матрица и m 6= k , то произведение AB
определено, а BA — нет. Если же m = k , но m 6= n, то определены
оба произведения AB и BA, но они имеют разные размеры — m × m
и n × n. И даже если m = n = k (то есть, A, B , AB , BA —
квадратные матрицы одного порядка), то AB необязательно совпадает
с BA, в чем Ãлегко !убедиться,
                             Ã перемножив,
                                    !         например, вещественные
                1 0             0 1
матрицы A =           иB=             . В самом деле, непосредственные
                0 0             0 0
вычисления показывают, что AB = B , а BA = 0.C
      Обозначим через En = (δij ) диагональную матрицу порядка n, все
диагональные элементы которой равны 1. Такая матрица называется
единичной. (В случае, когда порядок фиксирован, нижний индекс у
единичной матрицы
              (       обычно опускают и вместо En пишут просто E .)
                1, i = j
Числа δij =               называют символами Кронекера. Вполне оче-
                0, i 6= j
видно свойство
      3.5. Если A — m × n-матрица, то Em A = AEn = A.
      Из приведенных выше рассуждений ясно, что с точки зрения
выполнимости всевозможных операций наиболее удачным является
множество Mn (K) матриц порядка n над K . Свойства 1.1–1.4, 3.1–
3.5 показывают, что Mn (K) является ассоциативным некоммутативным
кольцом с единицей E .


                                         14

Страницы