Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 11 стр.

     Кроме декартовой системы координат на плоскости существует
также полярная система координат, в которой положение точки z = (a, b)
характеризуется расстоянием r от начала координат и (в случае z 6= 0)
углом ϕ между положительной полуосью и соответствующим числу z
вектором. Используя методы школьной геометрии, нетрудно вывести
равенства
                    p                  a           b
                r = a2 + b2 , cos ϕ = , sin ϕ = .
                                       r           r
Тогда число z можно записать в виде
                             ³a b ´
              z = a + bi = r   + i = r(cos ϕ + i sin ϕ),
                              r r
который называется тригонометрической формой числа z . Число
r называется модулем числа z и обозначается |z|, а угол ϕ —
аргументом (arg z ). Следует подчеркнуть, что аргумент существует
только у ненулевых чисел и находится из условий
                                         a          b
                                  cos ϕ = , sin ϕ =
                                         r          r
с точностью до угла, кратного 2π .
     Приведем очевидные свойства модуля:
                 √
      1◦ . |z| = z z̄ ;
      2◦ . |z| = 0 ⇔ z = 0;
      3◦ . |z| = |−z|;
      4◦ . |z| = |z̄|.
     Пусть z1 , z2 — ненулевые комплексные числа. Запишем их в
тригонометрической форме: zk = rk (cos ϕk + i sin ϕk ), k = 1, 2. Тогда

z1 z2 = r1 r2 (cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 + i(cos ϕ1 sin ϕ2 + sin ϕ1 cos ϕ2 )) =
                       r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )).

Ясно, что

     |z1 z2 | = r1 r2 = |z1 | |z2 |,   arg(z1 z2 ) = ϕ1 + ϕ2 = arg z1 + arg z2 ,

                                             9