Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 6 стр.

определить декартово произведение A1 × · · · × Ak . В случае, когда
A1 = · · · = Ak = A, соответствующее произведение называется
декартовой степенью множества A и обозначается Ak .
      Пусть A и B — множества. Отображением из A в B называется
соответствие ϕ, которое каждому элементу a ∈ A сопоставляет
некоторый элемент ϕ(a) ∈ B . Отображение ∗ множества A × A
в A называется бинарной алгебраической операцией на множестве A.
Образ пары (a, b) ∈ A × A при этом записывают обычно в виде
a ∗ b. Естественными примерами алгебраических операций на числовых
множествах являются обычные операции сложения “ +” и умножения “ ·”
чисел. Легко видеть, что вычитание является алгебраической операцией
на множествах Z, Q, R, но не является таковой на множестве N. На каких
числовых множествах будет алгебраической операцией деление?
      Основными объектами изучения в алгебре являются алгебраические
системы — множества с заданными на них алгебраическими операциями,
при этом главное значение имеет не природа самих множеств, а свойства
алгебраических операций. Наиболее важными примерами алгебраических
систем являются группы, кольца и поля.
      Система (G, ∗) называется группой, если выполняются следующие
условия:
      1) для всех a, b, c ∈ G верно (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) (ассоциативность);
      2) существует элемент e ∈ G такой, что e ∗ a = a ∗ e = a для всех
a ∈ G (существование нейтрального элемента);
      3) для любого a ∈ G существует a0 ∈ G такой, что a ∗ a0 = a0 ∗ a = e
(существование обратного элемента).
      Если дополнительно выполняется условие
      4) для всех a, b ∈ G верно a ∗ b = b ∗ a (коммутативность),
то группа G называется абелевой.
      В зависимости от выбора знака алгебраической операции различают
мультипликативную и аддитивную терминологии. Различия между ними
приведены в таблице 1. Аддитивную терминологию применяют, как
правило, для абелевых групп.
      Легко убедиться в том, что множества Z, Q, R образуют абелевы
группы относительно сложения, а множества Q∗ = Q\{0} и R∗ = R\{0}
— относительно умножения.


                                       4