Интегральное исчисление функции одной переменной. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . 15
ÓÔÅÐÅÎÉ k > 1, ÔÏ ÅÍÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÓÕÍÍÁ ÉÚ k ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ
(x − a)
k
→
A
1
x − a
+
A
2
(x − a)
2
+ . . . +
A
k
(x − a)
k
.
3. åÓÌÉ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ Q(x) ×ÈÏÄÉÔ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ x
2
+ px+ q ÔÏÌØËÏ × ÐÅÒ×ÏÊ
ÓÔÅÐÅÎÉ, ÔÏ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÅÍÕ ÓÔÁ×ÉÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÐÒÏÓÔÁÑ ÄÒÏÂØ:
x
2
+ px + q →
Mx + N
x
2
+ px + q
.
4. åÓÌÉ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ Q(x) ×ÈÏÄÉÔ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ (x
2
+ px + q)
k
, ÐÏËÁÚÁÔÅÌØ
ËÏÔÏÒÏÇÏ k > 1, ÔÏ ÅÍÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÓÕÍÍÁ ÉÚ k ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ
(x
2
+ px + q)
k
→
M
1
x + N
1
x
2
+ px + q
+
M
2
x + N
2
(x
2
+ px + q)
2
+ . . . +
M
k
x + N
k
(x
2
+ px + q)
k
.
äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× A, M, N ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔ ÍÅÔÏÄ
ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×. úÎÁÑ ÆÏÒÍÕ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ
P (x)
Q(x)
ÎÁ ÐÒÏÓÔÙÅ
ÄÒÏÂÉ, ÐÉÛÕÔ ÅÇÏ Ó ÂÕË×ÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ ÓÐÒÁ×Á. ðÒÉ×ÏÄÑÔ ÄÒÏÂÉ
Ë ÏÄÎÏÍÕ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÀ Q(x) É ÐÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÀÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ × ÞÉ-
ÓÌÉÔÅÌÑÈ ÓÐÒÁ×Á É ÓÌÅ×Á. úÁÔÅÍ, ÐÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÐÒÉ
ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÐÅÎÑÈ, ÎÁÈÏÄÑÔ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÂÕË×ÅÎÎÙÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ.
ðÒÉÍÅÒ 24. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÄÒÏÂØ
2x
2
+2x+13
(x−2)(x
2
+1)
2
ÎÁ ÐÒÏÓÔÙÅ.
ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÄÒÏÂØ × ×ÉÄÅ:
2x
2
+ 2x + 13
(x − 2)(x
2
+ 1)
2
=
A
x − 2
+
Bx + C
x
2
+ 1
+
Dx + E
(x
2
+ 1)
2
.
ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ A, B, C, D, E ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ, ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á:
2x
2
+ 2x + 13 = A · (x
2
+ 1)
2
+ (Bx + C)(x
2
+ 1)(x −2) + (Dx + E)(x − 2),
ÏÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ:
2x
2
+ 2x + 13 = (A + B) · x
4
+ (C − 2B) · x
3
+ (2A + B − 2C + D) · x
2
+
+ (C − 2B + E − 2D) · x + A − 2C − 2E.
ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÐÅÎÑÈ x ÓÌÅ×Á É ÓÐÒÁ×Á,
ÐÒÉÄÅÍ Ë ÓÉÓÔÅÍÅ ÉÚ ÐÑÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
A + B = 0,
−2B + C = 0,
2A + B − 2C + D = 2,
−2B + C − 2D + E = 2,
A − 2C − 2E = 13,
ÏÔËÕÄÁ
A = 1, B = −1, C = −2, D = −3, E = −4.
§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .                                              15

ÓÔÅÐÅÎÉ k > 1, ÔÏ ÅÍÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÓÕÍÍÁ ÉÚ k ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ
                            A1       A2                Ak
                (x − a)k →      +         + . . . +          .
                           x − a (x − a)2           (x − a)k
   3. åÓÌÉ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ Q(x) ×ÈÏÄÉÔ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ x2 + px + q ÔÏÌØËÏ × ÐÅÒ×ÏÊ
ÓÔÅÐÅÎÉ, ÔÏ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÅ ÅÍÕ ÓÔÁ×ÉÔÓÑ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÁÑ ÐÒÏÓÔÁÑ ÄÒÏÂØ:
                                       Mx + N
                        x2 + px + q → 2         .
                                     x + px + q
   4. åÓÌÉ × ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ Q(x) ×ÈÏÄÉÔ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ (x2 + px + q)k , ÐÏËÁÚÁÔÅÌØ
ËÏÔÏÒÏÇÏ k > 1, ÔÏ ÅÍÕ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÓÕÍÍÁ ÉÚ k ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ
                       M1 x + N 1    M2 x + N 2                 Mk x + N k
    (x2 + px + q)k → 2            + 2               + . . . +                .
                      x + px + q (x + px + q)2                (x2 + px + q)k
   äÌÑ ÎÁÈÏÖÄÅÎÉÑ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× A, M , N ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔ ÍÅÔÏÄ
ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×. úÎÁÑ ÆÏÒÍÕ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ PQ(x)          (x)
                                                                       ÎÁ ÐÒÏÓÔÙÅ
ÄÒÏÂÉ, ÐÉÛÕÔ ÅÇÏ Ó ÂÕË×ÅÎÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ ÓÐÒÁ×Á. ðÒÉ×ÏÄÑÔ ÄÒÏÂÉ
Ë ÏÄÎÏÍÕ ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌÀ Q(x) É ÐÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÀÔ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ × ÞÉ-
ÓÌÉÔÅÌÑÈ ÓÐÒÁ×Á É ÓÌÅ×Á. úÁÔÅÍ, ÐÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÐÒÉ
ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÐÅÎÑÈ, ÎÁÈÏÄÑÔ ÎÅÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÂÕË×ÅÎÎÙÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ.
                                   2x2 +2x+13
   ðÒÉÍÅÒ 24. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÄÒÏÂØ (x−2)(x    2 +1)2 ÎÁ ÐÒÏÓÔÙÅ.

   ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÄÒÏÂØ × ×ÉÄÅ:
                2x2 + 2x + 13      A       Bx + C       Dx + E
                                =       +           +             .
               (x − 2)(x2 + 1)2   x−2       x2 + 1    (x2 + 1)2
ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ A, B, C, D, E ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ, ÉÓÈÏÄÑ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á:
 2x2 + 2x + 13 = A · (x2 + 1)2 + (Bx + C)(x2 + 1)(x − 2) + (Dx + E)(x − 2),
ÏÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ:
 2x2 + 2x + 13 = (A + B) · x4 + (C − 2B) · x3 + (2A + B − 2C + D) · x2+
                                    + (C − 2B + E − 2D) · x + A − 2C − 2E.
ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÒÉ ÏÄÉÎÁËÏ×ÙÈ ÓÔÅÐÅÎÑÈ x ÓÌÅ×Á É ÓÐÒÁ×Á,
ÐÒÉÄÅÍ Ë ÓÉÓÔÅÍÅ ÉÚ ÐÑÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
                      
                      
                          A + B = 0,
                       −2B + C = 0,
                      
                      
                           2A + B − 2C + D = 2,
                         −2B + C − 2D + E = 2,
                      
                      
                      
                      
                           A − 2C − 2E = 13,
                      
ÏÔËÕÄÁ
            A = 1, B = −1, C = −2, D = −3, E = −4.

Страницы