Интегральное исчисление функции одной переменной. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

16 §1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .
ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ:
2x
2
+ 2x + 13
(x − 2)(x
2
+ 1)
2
=
1
x − 2
−
x + 2
x
2
+ 1
−
3x + 4
(x
2
+ 1)
2
.
äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÐÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ ÐÒÁ×ÉÌØÎÕÀ ÄÒÏÂØ, ÅÅ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔ
ÎÁ ÓÕÍÍÕ ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ, Á ÚÁÔÅÍ ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÀÔ ËÁÖÄÕÀ ÐÒÏÓÔÕÀ ÄÒÏÂØ
ÏÔÄÅÌØÎÏ É ÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔ.
ðÒÉÍÅÒ 25.
Z
2x
2
+ 2x + 13
(x − 2)(x
2
+ 1)
2
dx =
Z
dx
x − 2
−
Z
x + 2
x
2
+ 1
dx −
Z
3x + 4
(x
2
+ 1)
2
dx =
=
1
2
3 − 4x
x
2
+ 1
+
1
2
ln
(x − 2)
2
x
2
+ 1
− 4 arctg x + C.
úÄÅÓØ ÍÙ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 24.
1.5. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÉÒÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ
÷ÙÛÅ ÍÙ ÎÁÕÞÉÌÉÓØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ. úÄÅÓØ ÒÁÓ-
ÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÍÅÔÏÄ ÒÁÃÉÏÎÁÌÉÚÁÃÉÉ ÄÌÑ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÉÒÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ
×ÙÒÁÖÅÎÉÊ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÉÝÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ t = t(x), ËÏÔÏÒÁÑ ÐÒÉ×ÅÌÁ ÂÙ
ÉÒÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ Ë ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÏÍÕ ×ÉÄÕ. úÄÅÓØ É ÄÁÌØÛÅ ÂÕÄÅÍ
ÐÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ R(x, y, z, . . .) ¡ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÔ Ó×ÏÉÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×.
I. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ×ÉÄÁ:
Z
R
x;
m
s
ax + b
cx + p
!
dx,
ÇÄÅ m ¡ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, a, b, c, p ¡ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ. ðÏÌÏÖÉÍ:
t = t(x) =
m
s
ax + b
cx + p
, t
m
=
ax + b
cx + p
, x = ϕ(t) =
p · t
m
− b
a − ct
m
, dx = ϕ
0
(t) dt.
éÎÔÅÇÒÁÌ ÐÅÒÅÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ:
Z
R(ϕ(t), t)ϕ
0
(t) dt.
÷ÙÞÉÓÌÉ× ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ×ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÓÔÁÒÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ t = t(x).
ðÒÉÍÅÒ 26.
Z
1
x + 1
3
r
x + 1
x − 1
dx.
16                                         §1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .

ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ:
                 2x2 + 2x + 13       1    x+2    3x + 4
                                 =      −      −          .
                (x − 2)(x2 + 1)2   x − 2 x2 + 1 (x2 + 1)2
   äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÐÒÏÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ ÐÒÁ×ÉÌØÎÕÀ ÄÒÏÂØ, ÅÅ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔ
ÎÁ ÓÕÍÍÕ ÐÒÏÓÔÙÈ ÄÒÏÂÅÊ, Á ÚÁÔÅÍ ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÀÔ ËÁÖÄÕÀ ÐÒÏÓÔÕÀ ÄÒÏÂØ
ÏÔÄÅÌØÎÏ É ÉÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÙ ÓËÌÁÄÙ×ÁÀÔ.
   ðÒÉÍÅÒ 25.

     2x2 + 2x + 13           dx        x+2            3x + 4
  Z                       Z         Z              Z
                     dx =         −           dx −             dx =
    (x − 2)(x2 + 1)2        x−2        x2 + 1        (x2 + 1)2
                                  1 3 − 4x 1 (x − 2)2
                                =          + ln 2         − 4 arctg x + C.
                                  2 x2 + 1 2       x +1
úÄÅÓØ ÍÙ ×ÏÓÐÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 24.

1.5. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÉÒÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ

  ÷ÙÛÅ ÍÙ ÎÁÕÞÉÌÉÓØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÔØ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ. úÄÅÓØ ÒÁÓ-
ÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÍÅÔÏÄ ÒÁÃÉÏÎÁÌÉÚÁÃÉÉ ÄÌÑ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÉÒÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ
×ÙÒÁÖÅÎÉÊ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÉÝÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ t = t(x), ËÏÔÏÒÁÑ ÐÒÉ×ÅÌÁ ÂÙ
ÉÒÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÏÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ Ë ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÏÍÕ ×ÉÄÕ. úÄÅÓØ É ÄÁÌØÛÅ ÂÕÄÅÍ
ÐÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ R(x, y, z, . . .) ¡ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÏÔ Ó×ÏÉÈ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×.
  I. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ×ÉÄÁ:
                                      s        !
                                        ax + b
                              Z
                                R x; m           dx,
                                        cx + p
ÇÄÅ m ¡ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, a, b, c, p ¡ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÅ. ðÏÌÏÖÉÍ:
            s
              ax + b    m  ax + b              p · tm − b
 t = t(x) = m
                     , t =        , x = ϕ(t) =         m
                                                          , dx = ϕ0(t) dt.
              cx + p       cx + p               a − ct
éÎÔÅÇÒÁÌ ÐÅÒÅÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ:
                         Z
                               R(ϕ(t), t)ϕ0(t) dt.

÷ÙÞÉÓÌÉ× ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ×ÅÒÎÅÍÓÑ Ë ÓÔÁÒÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ t = t(x).
  ðÒÉÍÅÒ 26.
                                r
                            1 3 x+1
                        Z
                                        dx.
                          x+1 x−1

Страницы