Интегральное исчисление функции одной переменной. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . 25
éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÐÏÓÌÅÄÎÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ, ÐÏÌÕÞÉÍ:
−
Z
sin x
cos
3
x
d cos x =
1
2
Z
sin x d cos
−2
x =
=
1
2
sin x
cos
2
x
−
Z
d sin x
cos
2
x
=
1
2
sin x
cos
2
x
−
Z
dx
cos x
=
=
1
2
sin x
cos
2
x
−
1
2
ln
tg
x
2
+
π
4
.
ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ:
Z
dx
cos
3
x
=
1
2
ln
tg
x
2
+
π
4
+
1
2
sin x
cos
2
x
.
2) òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ
Z
sin
m
x cos
n
x dx, m > 0, n > 0.
Å) ÏÄÉÎ ÉÚ ÐÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ m ÉÌÉ n ÎÅÞÅÔÎÙÊ, ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÐÏ-
ÌÁÇÁÅÍ n = 2k + 1.
Z
sin
m
cos
n
x dx =
Z
sin
m
x cos
2k+1
x dx =
Z
sin
m
x(cos
2
x)
k
d sin x =
=
Z
sin
m
x(1 − sin
2
x)
k
d sin x =
Z
t
m
(1 − t
2
)
k
dt,
ÇÄÅ t = sin x É ÄÁÌÅÅ ÐÏ ÂÉÎÏÍÕ îØÀÔÏÎÁ.
ðÒÉÍÅÒ 39.
Z
sin
2
x cos
3
x dx =
Z
sin
2
x cos
2
x d sin x =
=
Z
sin
2
x(1 −sin
2
x) d sin x =
Z
t
2
(1 − t
2
) dt =
=
Z
(t
2
− t
4
) dt =
t
3
3
−
t
5
5
+ C =
sin
3
x
3
−
sin
5
x
5
+ C.
Ö) m É n ÞÅÔÎÙÅ, ÔÏ ÅÓÔØ m = 2k, n = 2l,
Z
sin
m
x cos
n
x dx =
Z
sin
2k
x cos
2l
x dx =
Z
sin
2k
x(1 −sin
2
x)
l
dx,
ÄÁÌÅÅ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÂÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ, Ó×ÏÄÉÍ Ë ÓÌÕÞÁÀ Á).
ðÒÉÍÅÒ 40.
Z
sin
2
x cos
2
x dx =
Z
sin
2
(1 − sin
2
x) dx =
Z
sin
2
x dx −
Z
sin
4
x dx.
§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .                                            25

éÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÐÏÓÌÅÄÎÉÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ, ÐÏÌÕÞÉÍ:
       sin x           1
   Z                     Z
 −        3
             d cos x =      sin x d cos−2 x =
      cos x            2
                                                              
                1 sin x         d sin x     1 sin x          dx
                             Z                          Z
             =             −              =          −             =
                2 cos2 x         cos2 x     2 cos2 x       cos x
                                                 1 sin x     1       x π 
                                               =          − ln tg      +    .
                                                 2 cos2 x 2           2 4
ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ:
                       dx       1        x π       1 sin x
                   Z
                             =    ln  tg    +     +           .
                      cos3 x 2            2 4        2 cos2 x
  2) òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ
                  Z
                     sinm x cosn x dx,     m > 0, n > 0.

   Å) ÏÄÉÎ ÉÚ ÐÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ m ÉÌÉ n ÎÅÞÅÔÎÙÊ, ÂÅÚ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÏÂÝÎÏÓÔÉ ÐÏ-
ÌÁÇÁÅÍ n = 2k + 1.
  Z                 Z                    Z
        m   n            m    2k+1
     sin cos x dx = sin x cos      x dx = sinm x(cos2 x)k d sin x =
                           Z                            Z
                          = sin x(1 − sin x) d sin x = tm (1 − t2 )k dt,
                                 m         2 k


ÇÄÅ t = sin x É ÄÁÌÅÅ ÐÏ ÂÉÎÏÍÕ îØÀÔÏÎÁ.
   ðÒÉÍÅÒ 39.
  Z                   Z
     sin x cos x dx = sin2 x cos2 x d sin x =
        2     3

                  Z                            Z
                = sin x(1 − sin x) d sin x = t2(1 − t2 ) dt =
                        2        2


                                            t3 t5     sin3 x sin5 x
                           Z
                              2    4
                          = (t − t ) dt = − + C =             −     + C.
                                            3    5        3     5
  Ö) m É n ÞÅÔÎÙÅ, ÔÏ ÅÓÔØ m = 2k, n = 2l,
     Z                  Z                  Z
       sin x cos x dx = sin x cos x dx = sin2k x(1 − sin2 x)l dx,
          m     n           2k     2l


ÄÁÌÅÅ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÂÉÎÏÍ îØÀÔÏÎÁ, Ó×ÏÄÉÍ Ë ÓÌÕÞÁÀ Á).
  ðÒÉÍÅÒ 40.
    Z                    Z                      Z           Z
       sin2 x cos2 x dx = sin2 (1 − sin2 x) dx = sin2 x dx − sin4 x dx.

Страницы