Интегральное исчисление функции одной переменной. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . 23
Á) m > 0, ÞÅÔÎÏÅ, m = 2k.
Z
sin
m
x dx =
Z
(sin
2
x)
k
dx =
Z
(1 − cos 2x)
k
2
k
dx =
1
2
k+1
Z
(1 − cos 2x)
k
d2x.
Â) m > 0, ÎÅÞÅÔÎÏÅ, m = 2k + 1.
Z
sin
m
x dx =
Z
sin
2k
x · sin x dx =
= −
Z
(sin
2
x)
k
d cos x = −
Z
(1 − cos
2
x)
k
d cos x = −
Z
(1 − t
2
)
k
dt,
ÇÄÅ t = cos x.
÷ÏÚ×ÅÄÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÐÏÄ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁÍÉ ÐÏ ÂÉÎÏÍÕ îØÀÔÏÎÁ × ÓÏ-
ÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÔÅÐÅÎØ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÒÑÄ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÔÉÐÁ (Á) É (Â), ÎÏ Ó ÎÉÚ-
ÛÉÍÉ ÓÔÅÐÅÎÑÍÉ, ÉÈ ÄÁÌØÛÅ ÕÐÒÏÝÁÅÍ ÔÅÍ ÖÅ ÏÂÒÁÚÏÍ.
óÌÕÞÁÊ
R
cos
m
x dx ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ.
ðÒÉÍÅÒ 35.
Z
cos
4
x dx =
Z
(cos
2
x)
2
dx =
Z
(1 + cos 2x)
2
8
d2x =
=
1
8
Z
(1 + 2 cos z + cos
2
z) dz =
z
8
+
sin z
4
+
+
1
8
Z
1 + cos 2z
2
dz =
3
8
x +
sin 2x
4
+
sin 4x
32
+ C.
ðÒÉÍÅÒ 36.
Z
cos
3
x dx =
Z
cos
2
x d sin x =
Z
(1 − sin
2
x) d sin x =
=
Z
(1 − t
2
) dt = t −
t
3
3
+ C = sin x −
sin
3
x
3
+ C.
×) m = −1
Z
dx
sin x
,
Z
dx
cos x
.
Z
dx
sin x
=
Z
dx
2 sin
x
2
cos
x
2
=
Z
d
x
2
cos
2
x
2
sin
x
2
cos
x
2
=
Z
d tg
x
2
tg
x
2
= ln
tg
x
2
+ C,
Z
dx
cos x
=
Z
d
x +
π
2
sin
x +
π
2
= ln
tg
x
2
+
π
4
+ C.
§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .                                                                    23

  Á) m > 0, ÞÅÔÎÏÅ, m = 2k.
                                            k
                               (1 − cos 2x)         1
Z             Z              Z                        Z
  sinm x dx = (sin2 x)k dx =                  dx = k+1 (1 − cos 2x)k d2x.
                                    2k            2
  Â) m > 0, ÎÅÞÅÔÎÏÅ, m = 2k + 1.
 Z              Z
    sinm x dx = sin2k x · sin x dx =
              Z                     Z                   Z
         = − (sin x) d cos x = − (1 − cos x) d cos x = − (1 − t2 )k dt,
                  2   k                  2  k


ÇÄÅ t = cos x.
   ÷ÏÚ×ÅÄÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, ÓÔÏÑÝÉÅ ÐÏÄ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁÍÉ ÐÏ ÂÉÎÏÍÕ îØÀÔÏÎÁ × ÓÏ-
ÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÓÔÅÐÅÎØ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÒÑÄ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÔÉÐÁ (Á) É (Â), ÎÏ Ó ÎÉÚ-
ÛÉÍÉ ÓÔÅÐÅÎÑÍÉ,   ÉÈ ÄÁÌØÛÅ ÕÐÒÏÝÁÅÍ ÔÅÍ ÖÅ ÏÂÒÁÚÏÍ.
               m
            R
   óÌÕÞÁÊ cos x dx ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ.
   ðÒÉÍÅÒ 35.

                                    (1 + cos 2x)2
  Z            Z                Z
        4            2   2
     cos x dx = (cos x) dx =                      d2x =
                                          8
                   1                                z sin z
                     Z
                 =     (1 + 2 cos z + cos2 z) dz = +        +
                   8                                8   4
                             1 1 + cos 2z           3   sin 2x sin 4x
                               Z
                           +                  dz = x +        +       + C.
                             8          2           8       4    32
  ðÒÉÍÅÒ 36.
 Z           Z               Z
   cos x dx = cos x d sin x = (1 − sin2 x) d sin x =
      3          2


                                            t3           sin3 x
                          Z
                                2
                       = (1 − t ) dt = t − + C = sin x −        + C.
                                             3             3
  ×) m = −1
                                           dx                 dx
                                    Z                 Z
                                                ,                  .
                                          sin x              cos x
        dx                dx                        d x2                     d tg x2       x
   Z             Z                       Z                               Z
             =                       =                              =           x = ln tg   + C,
                     2 sin x2 cos x2                       sin x2
                                                     
       sin x                                cos2 x2                           tg 2         2
                                                           cos x2

                                     d x + π2
                                              
                       dx                                x π 
                 Z              Z
                            =                    = ln tg   +    + C.
                                    sin x + π2
                                               
                      cos x                               2 4

Страницы