Интегральное исчисление функции одной переменной. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . 21
1.6. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅ-
ÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
I. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ×ÉÄÁ
Z
R(sin x, cos x) dx,
ÇÄÅ R ¡ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ.
÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÊ ÐÒÉÅÍ ÒÁÃÉÏÎÁÌÉÚÁÃÉÉ ×ÙÒÁ-
ÖÅÎÉÊ, ÓÔÏÑÝÉÈ ÐÏÄ ÚÎÁËÏÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ
t = tg
x
2
(−π < x < π) É ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ:
sin x =
2 tg
x
2
1 + tg
2
x
2
=
2t
1 + t
2
,
cos x =
1 − tg
2
x
2
1 + tg
2
x
2
=
1 − t
2
1 + t
2
,
x = 2 arctg t, dx =
2 dt
1 + t
2
,
ÐÏÌÕÞÉÍ ÐÏÄ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ.
ðÒÉÍÅÒ 32.
Z
dx
cos 3x + 2 sin 3x
=
1
3
Z
d3x
cos 3x + 2 sin 3x
=
=
1
3
Z
dz
cos z + 2 sin z
=
1
3
Z
2 dt
(1 + t
2
)
1−t
2
1+t
2
+
4t
1+t
2
=
=
2
3
Z
dt
1 − t
2
+ 4t
=
2
3
Z
dt
5 − (t − 2)
2
=
2
3
Z
du
5 − u
2
=
=
2
3
1
2
√
5
ln
√
5 + u
√
5 − u
+ C =
1
3
√
5
ln
tg
3x
2
− 2 +
√
5
tg
3x
2
− 2 −
√
5
+ C.
ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÕÐÏÍÑÎÕÔÁÑ ×ÙÛÅ, ÐÒÉ×ÏÄÉÔ ÞÁÓÔÏ Ë ÓÌÏÖÎÙÍ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ-
×ÁÎÉÑÍ, ÐÏÜÔÏÍÕ × ÎÉÖÅÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÐÒÅÄÐÏÞÔÉÔÅÌØÎÙ
ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ, ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÙÅ ÐÒÉÅÍÙ:
Á) ÐÕÓÔØ R(u, v) = −R(−u, v), ÔÏÇÄÁ ÒÁÃÉÏÎÁÌÉÚÁÃÉÑ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁ-
ÎÏ×ËÏÊ t = cos x;
Â) ÐÕÓÔØ R(u, v) = −R(u, −v), ÔÏÇÄÁ ÒÁÃÉÏÎÁÌÉÚÁÃÉÑ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁ-
ÎÏ×ËÏÊ t = sin x;
×) ÐÕÓÔØ R(u, v) = R(−u, −v), ÔÏÇÄÁ ÒÁÃÉÏÎÁÌÉÚÁÃÉÑ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁ-
ÎÏ×ËÏÊ t = tg x.
§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .                                                     21

1.6. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÉÈ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅ-
     ÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ

   I. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ×ÉÄÁ
                          Z
                            R(sin x, cos x) dx,

ÇÄÅ R ¡ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ.
   ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÕÎÉ×ÅÒÓÁÌØÎÙÊ ÐÒÉÅÍ ÒÁÃÉÏÎÁÌÉÚÁÃÉÉ ×ÙÒÁ-
ÖÅÎÉÊ, ÓÔÏÑÝÉÈ ÐÏÄ ÚÎÁËÏÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ. á ÉÍÅÎÎÏ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ
t = tg x2 (−π < x < π) É ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ:
                                       2 tg x2      2t
                             sin x =            =        ,
                                     1 + tg2 x2   1 + t2
                                   1 − tg2 x2    1 − t2
                          cos x =             =          ,
                                   1 + tg2 x2    1 + t2
                                                   2 dt
                          x = 2 arctg t, dx =             ,
                                                  1 + t2
ÐÏÌÕÞÉÍ ÐÏÄ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ.
   ðÒÉÍÅÒ 32.
           dx           1           d3x
  Z                       Z
                      =                          =
    cos 3x + 2 sin 3x 3 cos 3x + 2 sin 3x
                 1         dz          1               2 dt
                   Z                     Z
             =                      =                        2          =
                 3 cos z + 2 sin z     3 (1 + t2) 1−t   1+t2
                                                                +  4t
                                                                      2
                                                               Z 1+t
               2        dt        2           dt            2       du
                 Z                   Z
            =                   =                      =                   =
               3 1 − t2 + 4t 3 5 − (t − 2)2                 3 5 − u2
                                 √                                            √
                      2 1         5+u                1          tg 3x
                                                                    2   − 2 +  5
                    =   √ ln √            + C = √ ln                          √   + C.
                      32 5        5−u              3 5          tg 3x
                                                                    2   − 2 −   5
   ðÏÄÓÔÁÎÏ×ËÁ, ÕÐÏÍÑÎÕÔÁÑ ×ÙÛÅ, ÐÒÉ×ÏÄÉÔ ÞÁÓÔÏ Ë ÓÌÏÖÎÙÍ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ-
×ÁÎÉÑÍ, ÐÏÜÔÏÍÕ × ÎÉÖÅÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÈ ÞÁÓÔÎÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÐÒÅÄÐÏÞÔÉÔÅÌØÎÙ
ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ, ÂÏÌÅÅ ÕÄÏÂÎÙÅ ÐÒÉÅÍÙ:
   Á) ÐÕÓÔØ R(u, v) = −R(−u, v), ÔÏÇÄÁ ÒÁÃÉÏÎÁÌÉÚÁÃÉÑ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁ-
ÎÏ×ËÏÊ t = cos x;
   Â) ÐÕÓÔØ R(u, v) = −R(u, −v), ÔÏÇÄÁ ÒÁÃÉÏÎÁÌÉÚÁÃÉÑ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁ-
ÎÏ×ËÏÊ t = sin x;
   ×) ÐÕÓÔØ R(u, v) = R(−u, −v), ÔÏÇÄÁ ÒÁÃÉÏÎÁÌÉÚÁÃÉÑ ÄÏÓÔÉÇÁÅÔÓÑ ÐÏÄÓÔÁ-
ÎÏ×ËÏÊ t = tg x.

Страницы