Интегральное исчисление функции одной переменной. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . 19
III. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ×ÉÄÁ:
Z
(Ax + B) ·
p
ax
2
+ bx + c dx.
ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÜÔÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ
Z
p
a
2
+ x
2
dx =
1
2
(x ·
p
a
2
+ x
2
+ a
2
ln |x +
p
a
2
+ x
2
|) + C,
Z
p
a
2
− x
2
dx =
1
2
x ·
p
a
2
− x
2
+ a
2
arcsin
x
a
+ C,
ËÏÔÏÒÙÅ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ (ÓÍ. ÐÕÎËÔ 1.3).
äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ×
R
(Ax + B)
√
ax
2
+ bx + c dx × Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÍ
ÔÒÅÈÞÌÅÎÅ ×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ, Á ÚÁÔÅÍ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÓÌÕÞÁÀ II, ×ÓÅ
Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ×ÉÄÁ
R
t
√
k ±t
2
dt É
R
√
k ±t
2
dt. ðÅÒ-
×ÙÊ ÉÚ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ:
Z
t
p
k ± t
2
dt =
1
2
Z
p
k ± t
2
dt
2
= ±
1
2
Z
p
k ± t
2
d(k ± t
2
) =
= ±
1
2
·
2
3
(k ± t
2
)
3/2
= ±
1
3
(k ± t
2
)
3/2
+ C.
úÎÁÞÅÎÉÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÓÍ. ×ÙÛÅ.
ðÒÉÍÅÒ 29.
Z
(2x − 1)
p
3x − x
2
dx =
Z
(2x − 1)
p
−(x
2
− 3x) dx =
=
Z
(2x − 1)
s
−

x −
3
2
2
−
9
4
dx =
=
Z
2
x −
3
2
+
3
2
− 1
s
9
4
−
x −
3
2
2
dx =
Z
(2t + 2)
r
9
4
− t
2
dt =
= 2
Z
t
r
9
4
− t
2
dt + 2
Z
r
9
4
− t
2
dt =
Z
r
9
4
− t
2
dt
2
+
+ 2 ·
1
2
t
r
9
4
− t
2
+
9
4
arcsin
2t
3
!
= −
2
3
(3x − x
2
)
3/2
+
+
x −
3
2
·
p
3x − x
2
+
9
4
arcsin
2x − 3
3
+ C.
§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .                                              19

  III. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ×ÉÄÁ:
                    Z            p
                       (Ax + B) · ax2 + bx + c dx.

ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÜÔÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ
                       1
       Z p                  p                    p
           a2 + x2 dx = (x · a2 + x2 + a2 ln |x + a2 + x2 |) + C,
                       2
                          1  p 2                   x
          Z p
                2    2                  2     2
               a − x dx =    x · a − x + a arcsin      + C,
                          2                         a
ËÏÔÏÒÙÅ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÍÅÔÏÄÏÍ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ √ ÐÏ ÞÁÓÔÑÍ (ÓÍ. ÐÕÎËÔ 1.3).
                                R
   äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× (Ax + B) ax2 + bx + c dx × Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÍ
ÔÒÅÈÞÌÅÎÅ ×ÙÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÊ Ë×ÁÄÒÁÔ, Á ÚÁÔÅÍ,
                                          R √ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ  R √ÓÌÕÞÁÀ II, ×ÓÅ
Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ×ÉÄÁ t k ± t dt É 2           k ± t2 dt. ðÅÒ-
×ÙÊ ÉÚ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ:

                  1                   1
  Z p               Z p                 Z p
    t k ± t2 dt =      k ± t2 dt2 = ±       k ± t2 d(k ± t2 ) =
                  2                   2
                                     1 2                  1
                                  = ± · (k ± t2 )3/2 = ± (k ± t2 )3/2 + C.
                                     2 3                  3
úÎÁÞÅÎÉÅ ×ÔÏÒÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÓÍ. ×ÙÛÅ.
  ðÒÉÍÅÒ 29.
 Z         p               Z         p
   (2x − 1) 3x − x dx = (2x − 1) −(x2 − 3x) dx =
                   2

                               s            2     
                                            3      9
                    Z
                  = (2x − 1) − x −               −     dx =
                                            2      4
    Z                   s               2                 r
               3 3              9          3                        9
                                                     Z
  =     2 x− +         −1          − x−         dx = (2t + 2)         − t2 dt =
               2 2              4          2                        4
              Z r                 Z r              Z r
                    9                  9                9
          =2 t        − t2 dt + 2        − t2 dt =         − t2 dt2 +
                    4                  4                4
                     r                      !
               1       9         9       2t        2
           +2·     t     − t2 + arcsin         = − (3x − x2)3/2+
               2       4         4        3        3
                                        p
                                      3                  9         2x − 3
                              + x−        · 3x − x2 + arcsin               + C.
                                      2                  4            3

Страницы