Интегральное исчисление функции одной переменной. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

22 §1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .
ðÒÉÍÅÒ 33.
Z
sin x
4 + cos
2
x
dx,
R(sin x, cos x) =
sin x
4 + cos
2
x
,
R(−sin x, cos x) = −
sin x
4 + cos
2
x
,
R(sin x, cos x) = −R(−sin x, cos x),
ÐÏÜÔÏÍÕ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ t = cos x:
Z
sin x
4 + cos
2
x
dx = −
Z
d cos x
4 + cos
2
x
= −
Z
dt
4 + t
2
= −
1
2
arctg
cos x
2
+ C.
ðÒÉÍÅÒ 34.
Z
dx
sin
2
x − 5 sin x cos x
,
R(sin x, cos x) =
1
sin
2
x − 5 sin x cos x
,
R(−sin x, −cos x) =
1
sin
2
x − 5 sin x cos x
,
R(sin x, cos x) = R(−sin x, −cos x),
ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ t = tg x:
Z
dx
sin
2
x − 5 sin x cos x
=
Z
dx
cos
2
x
sin
2
x
cos
2
x
−
5 sin x cos x
cos
2
x
=
=
Z
d tg x
tg
2
x − 5 tg x
=
Z
dt
t
2
− 5t
=
Z
dt
t −
5
2
2
−
5
2
2
=
= −
1
5
ln
5
2
+ t −
5
2
5
2
− t +
5
2
= −
1
5
ln
t
t − 5
+ C =
=
1
5
ln
1 −
5
t
+ C =
1
5
ln |1 − 5 ctg x| + C.
II. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ
R
sin
m
x cos
n
x dx.
ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÜÔÉÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÐÏÌÅÚÎÙÍÉ ÓÌÅÄÕÀ-
ÝÉÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ
sin x cos x =
sin 2x
2
, sin
2
x =
1 − cos 2x
2
, cos
2
x =
1 + cos 2x
2
.
1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ:
R
sin
m
x dx,
R
cos
m
x dx, ÐÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ
22                                                §1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .

     ðÒÉÍÅÒ 33.
                                         sin x
                                   Z
                                                 dx,
                                      4 + cos2 x
                                                  sin x
                            R(sin x, cos x) =             ,
                                               4 + cos2 x
                                                    sin x
                         R(− sin x, cos x) = −              ,
                                                 4 + cos2 x
                        R(sin x, cos x) = −R(− sin x, cos x),
ÐÏÜÔÏÍÕ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ t = cos x:
        sin x               d cos x              dt         1       cos x 
  Z                    Z                    Z
                dx = −                =−                = − arctg            + C.
     4 + cos2 x           4 + cos2 x           4 + t2       2          2
   ðÒÉÍÅÒ 34.
                                         dx
                           Z
                                                      ,
                               sin2 x − 5 sin x cos x
                                                  1
                    R(sin x, cos x) =                         ,
                                       sin2 x − 5 sin x cos x
                                                    1
                  R(− sin x, − cos x) =                          ,
                                          sin2 x − 5 sin x cos x
                     R(sin x, cos x) = R(− sin x, − cos x),
ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ t = tg x:
             dx                              dx
  Z                           Z
                           =                                   =
    sin2 x − 5 sin x cos x
                                      
                                   2    sin2 x   5 sin x cos x
                                cos x cos2 x − cos2 x
                       d tg x             dt                    dt
               Z                    Z              Z
            =        2           =              =                2         =
                   tg x − 5 tg x      t2 − 5t                        5 2
                                                          t− 5 −
                                                                      
                                                            2        2
                               5           5
                       1       2   +t−     2      1    t
                    = − ln     5           5   = − ln     +C =
                       5       2   −t+     2
                                                  5   t−5
                                           1       5     1
                                       =     ln 1 − + C = ln |1 − 5 ctg x| + C.
                                           5       t     5
  II. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ sinm x cosn x dx.
                          R
  ðÒÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÜÔÉÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ÏËÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÐÏÌÅÚÎÙÍÉ ÓÌÅÄÕÀ-
ÝÉÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ
                     sin 2x             1 − cos 2x            1 + cos 2x
       sin x cos x =        , sin2 x =             , cos2 x =            .
                        2                   2                     2
  1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ: sinm x dx, cosm x dx, ÐÏÌÁÇÁÅÍ, ÞÔÏ
                                      R             R

Страницы