Интегральное исчисление функции одной переменной. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . . 27
ðÒÉÍÅÒ 43.
Z
cos
3
x
sin
2
x
dx =
Z
(1 − sin
2
x)
sin
2
x
d sin x =
Z
dt
t
2
−
Z
dt =
= −
1
t
− t + C = −
1
sin x
− sin x + C,
ÇÄÅ t = sin x.
4. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ
R
dx
cos
m
x sin
n
x
, m > 0, n > 0.
Z
dx
cos
m
x sin
n
x
=
Z
cos
2
x + sin
2
x
cos
m
x · sin
n
x
dx =
=
Z
dx
cos
m−2
x sin
n
x
+
Z
dx
cos
m
x sin
n−2
x
,
ÐÏ×ÔÏÒÉ× ÜÔÏÔ ÐÒÉÅÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÚ, Ó×ÏÄÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ë ÐÒÅÄÙ-
ÄÕÝÉÍ ÔÉÐÁÍ.
ðÒÉÍÅÒ 44.
Z
dx
cos
3
x sin
2
x
=
Z
cos
2
x + sin
2
x
cos
3
x · sin
2
x
dx =
=
Z
dx
cos x sin
2
x
+
Z
dx
cos
3
x
=
Z
cos
2
x + sin
2
x
cos x sin
2
x
dx+
+
Z
dx
cos
3
x
=
Z
cos x
sin
2
x
dx +
Z
dx
cos
3
x
+
Z
dx
cos
3
x
.
åÓÌÉ m + n = 2k, ÔÏ ÐÒÏÝÅ ÄÅÌÉÔØ ÞÌÅÎÙ ÄÒÏÂÉ ÎÁ cos
m+n
x.
Z
dx
cos
m
x sin
n
x
=
Z
dx
cos
m+n
x
cos
m
x sin
n
x
cos
m+x
x
=
=
Z
dx
cos
2k
x tg
n
x
=
Z
(1 + tg
2
x)
k−1
· tg
−n
x d tg x =
=
Z
t
−n
(1 + t
2
)
k−1
dt,
ÇÄÅ t = tg x.
§1. îÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ. . .                                                      27

   ðÒÉÍÅÒ 43.

      cos3 x            (1 − sin2 x)                  dt
  Z                 Z                               Z      Z
             dx =                    d sin x =            − dt =
      sin2 x               sin2 x                     t2
                                                         1         1
                                                    = − −t+C =−        − sin x + C,
                                                         t       sin x

ÇÄÅ t = sin x.
                                   dx
                     R
   4. éÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÉÄÁ          cosm x sinn x ,   m > 0, n > 0.


           dx               cos2 x + sin2 x
  Z                     Z
                    =                       dx =
      cosm x sinn x         cosm x · sinn x
                                                     dx                  dx
                                             Z                   Z
                                           =                n  +                   ,
                                                cosm−2 x sin x     cosm x sinn−2 x

ÐÏ×ÔÏÒÉ× ÜÔÏÔ ÐÒÉÅÍ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ ËÏÌÉÞÅÓÔ×Ï ÒÁÚ, Ó×ÏÄÉÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ë ÐÒÅÄÙ-
ÄÕÝÉÍ ÔÉÐÁÍ.
   ðÒÉÍÅÒ 44.

           dx            cos2 x + sin2 x
  Z                   Z
                    =                      dx =
      cos3 x sin2 x       cos3 x · sin2 x
                         dx                dx         cos2 x + sin2 x
                   Z                 Z            Z
                =                 +             =                      dx+
                     cos x sin2 x        cos3 x          cos x sin2 x
                                        dx         cos x              dx        dx
                                   Z            Z                 Z          Z
                               +          3
                                              =        2   dx +         3
                                                                           +          .
                                      cos x        sin x             cos x     cos3 x

   åÓÌÉ m + n = 2k, ÔÏ ÐÒÏÝÅ ÄÅÌÉÔØ ÞÌÅÎÙ ÄÒÏÂÉ ÎÁ cosm+n x.

           dx                   dx
  Z                  Z
               n   =                 m x sinn x  =
         m
      cos x sin x       cosm+n x coscosm+x  x
                         dx
                 Z                Z
              =        2k   n   = (1 + tg2 x)k−1 · tg−n x d tg x =
                    cos x tg x
                                                          Z
                                                       = t−n (1 + t2 )k−1 dt,


ÇÄÅ t = tg x.

Страницы