Интегральное исчисление функции одной переменной. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§2. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á. . . 39
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ [α, β], ÔÏÇÄÁ
b
Z
a
f(x) dx =
β
Z
α
f(ϕ(t))ϕ
0
(t) dt.
5) ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ u(x) É v(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ ÎÁ [a, b], Á ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄ-
ÎÙÅ u
0
(x) É v
0
(x) ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÙ ÎÁ [a, b], ÔÏÇÄÁ
b
Z
a
u(x) · v
0
(x) dx = u(x) · v(x)
b
a
−
b
Z
a
v(x) · u
0
(x) dx.
ðÒÉÍÅÒ 1. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 3).
1
Z
0
dx
√
1 + x
2
= ln(x +
p
1 + x
2
)
1
0
= ln(1 +
√
2) − ln 1 = ln(1 +
√
2).
ðÒÉÍÅÒ 2. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 3).
2π
Z
0
sin x dx = −cos x
2π
0
= −(cos 2π − cos 0) = 0.
ðÒÉÍÅÒ 3. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 4).
3
Z
0
p
9 − x
2
dx,
ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ x = 3 sin t, t ∈ [0, π/2]. éÍÅÅÍ
3
Z
0
p
9 − x
2
dx =
π/2
Z
0
p
9 − 9 sin
2
t 3 cos t dt =
= 9
π/2
Z
0
cos
2
t dt =
9
2
t +
sin 2t
2
π/2
0
=
9π
4
.
ðÒÉÍÅÒ 4. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 4).
2
Z
1
√
x
2
− 1
x
4
dx,
§2. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á. . .                                                    39

ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ [α, β], ÔÏÇÄÁ
                              Zb                Zβ
                                   f (x) dx =         f (ϕ(t))ϕ0(t) dt.
                               a                  α

  5) ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ u(x) É v(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ ÎÁ [a, b], Á ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄ-
ÎÙÅ u0 (x) É v 0 (x) ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÙ ÎÁ [a, b], ÔÏÇÄÁ
               Zb                                          b   Zb
                    u(x) · v 0 (x) dx = u(x) · v(x) −               v(x) · u0 (x) dx.
                                                           a
               a                                               a

  ðÒÉÍÅÒ 1. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 3).
      Z1                                    √     1            √
             dx            p
           √       = ln(x + 1 + x2) = ln(1 + 2) − ln 1 = ln(1 + 2).
            1 + x2                 0
      0

  ðÒÉÍÅÒ 2. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 3).
                   Z2π                        2π
                         sin x dx = − cos x           = −(cos 2π − cos 0) = 0.
                                              0
                    0

  ðÒÉÍÅÒ 3. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 4).
                                        Z3 p
                                            9 − x2 dx,
                                        0

ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÕ x = 3 sin t, t ∈ [0, π/2]. éÍÅÅÍ

 Z3 p            Zπ/2p
     9 − x2 dx =      9 − 9 sin2 t 3 cos t dt =
  0                       0
                                               Zπ/2                                   π/2
                                                            9      sin 2t                         9π
                                            = 9 cos2 t dt =     t+                            =      .
                                                            2        2                  0          4
                                                      0

  ðÒÉÍÅÒ 4. (ÓÍ. Ó×ÏÊÓÔ×Ï 4).
                                        Z2 √ 2
                                            x −1
                                                 dx,
                                             x4
                                        1

Страницы