Интегральное исчисление функции одной переменной. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

38 §2. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á. . .
òÁÚÂÉÅÎÉÅ T ÏÔÒÅÚËÁ [a, b] ×ÍÅÓÔÅ Ó ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÔÏÞÅË ξ =
{ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
} ÎÁÚÏ×ÅÍ ÒÁÚÍÅÞÅÎÎÙÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅÍ [a, b] É ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ
T ξ. ðÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f : [z, b] → R É ÒÁÚÍÅÞÅÎÎÏÍÕ ÒÁÚÂÉÅÎÉÀ T ξ Ó
ÄÉÁÍÅÔÒÏÍ d(T ) > 0 ÐÏÓÔÒÏÉÍ ÓÕÍÍÕ
S
f
(T ξ) =
n
X
i=1
f(ξ
i
)(x
i
− x
i−1
).
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. éÎÔÅÇÒÁÌÏÍ òÉÍÁÎÁ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [a, b] ÎÁ-
ÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ I (ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ), ÞÔÏ lim
d(T )→0
S
f
(T ξ) = I.
ïÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌ òÉÍÁÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: I =
b
R
a
f(x) dx. úÄÅÓØ
É ÄÁÌØÛÅ ÐÏÌÁÇÁÅÍ:
a
R
a
f(x) dx = 0 É
b
R
a
f(x) dx = −
a
R
b
f(x) dx.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. éÎÔÅÇÒÁÌ òÉÍÁÎÁ I =
b
R
a
f(x) dx ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ a, b É f, ÎÏ ÎÅ ÚÁ-
×ÉÓÉÔ ÏÔ x, Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ¤ÎÅÍÏÊ¥ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ (ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ),
× ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
R
f(x) dx = F (x) + C ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ
x.
îÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ òÉÍÁÎÁ.
1) ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) É g(x) ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÙ ÎÁ [a, b], ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ
α É β ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ:
b
Z
a
(αf(x) + βg(x)) dx = α
b
Z
a
f(x) dx + β
b
Z
a
g(x) dx.
2) ðÕÓÔØ a < c < b, ÔÏÇÄÁ
b
Z
a
f(x) dx =
c
Z
a
f(x) dx +
b
Z
c
f(x) dx.
3) ðÕÓÔØ f(x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ [a, b]. ðÕÓÔØ F (x) =
R
f(x) dx ¡ ÎÅÏÐÒÅÄÅ-
ÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ [a, b], ÔÏÇÄÁ:
b
Z
a
f(x) dx = F (x)
b
a
= F (b) −F (a).
4) ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f(x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ [a, b]. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(t) É ϕ
0
(t)
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ ÎÁ [α, β], ÐÒÉÞÅÍ ϕ(α) = a, ϕ(β) = b É f(ϕ(t)) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ É
38                            §2. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÏÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á. . .

òÁÚÂÉÅÎÉÅ T ÏÔÒÅÚËÁ [a, b] ×ÍÅÓÔÅ Ó ×ÙÂÒÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ ÔÏÞÅË ξ =
{ξ1 , ξ2, . . . , ξn } ÎÁÚÏ×ÅÍ ÒÁÚÍÅÞÅÎÎÙÍ ÒÁÚÂÉÅÎÉÅÍ [a, b] É ÂÕÄÅÍ ÏÂÏÚÎÁÞÁÔØ
T ξ. ðÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f : [z, b] → R É ÒÁÚÍÅÞÅÎÎÏÍÕ ÒÁÚÂÉÅÎÉÀ T ξ Ó
ÄÉÁÍÅÔÒÏÍ d(T ) > 0 ÐÏÓÔÒÏÉÍ ÓÕÍÍÕ
                                            n
                                            X
                               Sf (T ξ) =         f (ξi)(xi − xi−1).
                                            i=1

  ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. éÎÔÅÇÒÁÌÏÍ òÉÍÁÎÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [a, b] ÎÁ-
ÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁËÏÅ ÞÉÓÌÏ I (ÅÓÌÉ ÏÎÏ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ), ÞÔÏ lim Sf (T ξ) = I.
                                                                             d(T )→0
                                                                                          Rb
     ïÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌ òÉÍÁÎÁ ÓÌÅÄÕÀÝÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ: I =                                       f (x) dx. úÄÅÓØ
                                                                                          a
                         Ra                       Rb                    Ra
É ÄÁÌØÛÅ ÐÏÌÁÇÁÅÍ:            f (x) dx = 0 É           f (x) dx = − f (x) dx.
                         a                        a                      b
                                                        Rb
     úÁÍÅÞÁÎÉÅ. éÎÔÅÇÒÁÌ òÉÍÁÎÁ I =                          f (x) dx ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ a, b É f , ÎÏ ÎÅ ÚÁ-
                                                        a
×ÉÓÉÔ ÏÔ x, Ñ×ÌÑÀÝÅÊÓÑ ¤ÎÅÍÏÊ¥ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ
                                        R (ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ),
× ÔÏ ×ÒÅÍÑ ËÁË ÎÅÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ f (x) dx = F (x) + C ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ
x.
   îÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ òÉÍÁÎÁ.
   1) ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) É g(x) ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÙ ÎÁ [a, b], ÔÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ
α É β ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ:
               Zb                                      Zb                    Zb
                    (αf (x) + βg(x)) dx = α                  f (x) dx + β            g(x) dx.
               a                                       a                     a

     2) ðÕÓÔØ a < c < b, ÔÏÇÄÁ
                        Zb                  Zc                   Zb
                              f (x) dx =         f (x) dx +           f (x) dx.
                         a                  a                     c
                                                                                 R
   3) ðÕÓÔØ f (x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ [a, b]. ðÕÓÔØ F (x) =                                f (x) dx ¡ ÎÅÏÐÒÅÄÅ-
ÌÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ [a, b], ÔÏÇÄÁ:
                         Zb                            b
                              f (x) dx = F (x)              = F (b) − F (a).
                                                       a
                         a

   4) ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ [a, b]. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ(t) É ϕ0 (t)
ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ ÎÁ [α, β], ÐÒÉÞÅÍ ϕ(α) = a, ϕ(β) = b É f (ϕ(t)) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ É

Страницы