Интегральное исчисление функции одной переменной. - 47 стр.

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МГТУ ГА | Москва

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§3. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ 47
337. y = x
2
+ 1, y = 0, x = 1, x = 2 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y;
338. y = x
3
, y = 1, x = 0 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y;
339.
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1, y = 0, ÇÄÅ y > 0 ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ x;
340. y = ln x, y = 0, x = e ×ÏËÒÕÇ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÐÒÑÍÙÈ: 1)
y = 0, 2) x = 0, 3) y = −1, 4) x = 1, 5) x = −1, 6) y = 1;
341. y = sin x, y = 0, ÇÄÅ 0 6 x 6 π ×ÏËÒÕÇ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÐÒÑÍÙÈ:
1) y = 0, 2) x = 0, 3) x = 2π, 4) x = −1, 5) x = −2, 6) y = 1, 7) y = −2;
342. x
2
− y
2
= 4, y = 2, y = 0 ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ x;
343. y = x, y = x
2
×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y;
344. y = cos 2x, y = 0, x = 0, ÇÄÅ 0 6 x 6
π
4
×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y;
345. y = sin x, y = 0, ÇÄÅ 2π 6 x 6 3π ×ÏËÒÕÇ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ
ÐÒÑÍÙÈ: 1) y = 0, 2) x = 0, 3) x = π, 4) y = −2;
346. y = 2x − x
2
, y = 0 ×ÏËÒÕÇ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÐÒÑÍÙÈ: 1) x = 0,
2) y = 0, 3) x = −1, 4) y = 1;
347. y =
4
x
, x = 1, x = 4, y = 0 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y;
348. y =
1
1+x
2
, x = 1, x = −1, y = 0 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y.
÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÄÌÉÎÕ ÄÕÇÉ ËÒÉ×ÏÊ:
349. y
2
= x
3
, ÏÔÓÅÞÅÎÎÏÊ ÐÒÑÍÏÊ x = 1;
350. y = ln cos x, ÏÔÓÅÞÅÎÎÏÊ ÐÒÑÍÙÍÉ x = 0, x =
π
6
;
351. y
2
= (x + 1)
3
, ÏÔÓÅÞÅÎÎÏÊ ÐÒÑÍÏÊ x = 4;
352. y
2
=
4
9
(2 −x)
3
, ÏÔÓÅÞÅÎÎÏÊ ÐÒÑÍÏÊ x = −1;
353. y =
a
2
(e
x
a
+ e
−
x
a
) ÍÅÖÄÕ ÏÓØÀ y É ÐÒÑÍÏÊ x = a;
354. y = x
2
− 1, ÏÔÓÅÞÅÎÎÏÊ ÏÓØÀ x;
355. y = ln sin x ÏÔ x =
π
3
ÄÏ x =
2π
3
;
356. ÁÓÔÒÏÉÄÙ x = a cos
3
t, y = a sin
3
t;
357. ÏÄÎÏÊ ÁÒËÉ ÃÉËÌÏÉÄÙ x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 6 t 6 2π;
358. ËÁÒÄÉÏÉÄÙ r = 4(1 −cos ϕ);
359. ÐÅÒ×ÏÇÏ ÚÁ×ÉÔËÁ ÓÐÉÒÁÌÉ r = aϕ, 0 6 ϕ 6 2π;
360. y =
x
2
4
−
1
2
ln x ÏÔ x = 1 ÄÏ x = e.
§3. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ
3.1. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ Ó ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÒÅÄÅÌÁÍÉ
ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f(x) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a, +∞) É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ
× ÌÀÂÏÊ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÅÇÏ ÞÁÓÔÉ [a, A], ÔÁË ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
A
R
a
f(x) dx ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ
ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ A > a.
§3. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ                                              47

   337. y = x2 + 1, y = 0, x = 1, x = 2 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y;
   338. y = x3, y = 1, x = 0 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y;
          2     2
   339. xa2 + yb2 = 1, y = 0, ÇÄÅ y > 0 ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ x;
   340. y = ln x, y = 0, x = e ×ÏËÒÕÇ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÐÒÑÍÙÈ: 1)
y = 0, 2) x = 0, 3) y = −1, 4) x = 1, 5) x = −1, 6) y = 1;
   341. y = sin x, y = 0, ÇÄÅ 0 6 x 6 π ×ÏËÒÕÇ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÐÒÑÍÙÈ:
1) y = 0, 2) x = 0, 3) x = 2π, 4) x = −1, 5) x = −2, 6) y = 1, 7) y = −2;
   342. x2 − y 2 = 4, y = 2, y = 0 ×ÏËÒÕÇ ÏÓÉ x;
   343. y = x, y = x2 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y;
   344. y = cos 2x, y = 0, x = 0, ÇÄÅ 0 6 x 6 π4 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y;
   345. y = sin x, y = 0, ÇÄÅ 2π 6 x 6 3π ×ÏËÒÕÇ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ
ÐÒÑÍÙÈ: 1) y = 0, 2) x = 0, 3) x = π, 4) y = −2;
   346. y = 2x − x2, y = 0 ×ÏËÒÕÇ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÐÒÑÍÙÈ: 1) x = 0,
2) y = 0, 3) x = −1, 4) y = 1;
   347. y = x4 , x = 1, x = 4, y = 0 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y;
                1
   348. y = 1+x   2 , x = 1, x = −1, y = 0 ×ÏËÒÕÇ: 1) ÏÓÉ x, 2) ÏÓÉ y.

÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÄÌÉÎÕ ÄÕÇÉ ËÒÉ×ÏÊ:
   349. y 2 = x3 , ÏÔÓÅÞÅÎÎÏÊ ÐÒÑÍÏÊ x = 1;
   350. y = ln cos x, ÏÔÓÅÞÅÎÎÏÊ ÐÒÑÍÙÍÉ x = 0, x = π6 ;
   351. y 2 = (x + 1)3, ÏÔÓÅÞÅÎÎÏÊ ÐÒÑÍÏÊ x = 4;
   352. y 2 = 94 (2 − x)3, ÏÔÓÅÞÅÎÎÏÊ ÐÒÑÍÏÊ x = −1;
                   x      x
   353. y = a2 (e a + e− a ) ÍÅÖÄÕ ÏÓØÀ y É ÐÒÑÍÏÊ x = a;
   354. y = x2 − 1, ÏÔÓÅÞÅÎÎÏÊ ÏÓØÀ x;
   355. y = ln sin x ÏÔ x = π3 ÄÏ x = 2π 3
                                           ;
   356. ÁÓÔÒÏÉÄÙ x = a cos t, y = a sin3 t;
                                3

   357. ÏÄÎÏÊ ÁÒËÉ ÃÉËÌÏÉÄÙ x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 6 t 6 2π;
   358. ËÁÒÄÉÏÉÄÙ r = 4(1 − cos ϕ);
   359. ÐÅÒ×ÏÇÏ ÚÁ×ÉÔËÁ ÓÐÉÒÁÌÉ r = aϕ, 0 6 ϕ 6 2π;
               2
   360. y = x4 − 12 ln x ÏÔ x = 1 ÄÏ x = e.


§3. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ
3.1. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ Ó ÂÅÓËÏÎÅÞÎÙÍÉ ÐÒÅÄÅÌÁÍÉ

   ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a, +∞) É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ
                                                   RA
× ÌÀÂÏÊ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÅÇÏ ÞÁÓÔÉ [a, A], ÔÁË ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ f (x) dx ÉÍÅÅÔ ÓÍÙÓÌ
                                                     a
ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ A > a.

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