Интегральное исчисление функции одной переменной. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§3. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ 49
1. åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÊ f (x) É g(x)
ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a; +∞), ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ α É β ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ-
×ÅÎÓÔ×Ï:
+∞
Z
a
(αf(x) + βg(x)) dx = α
+∞
Z
a
f(x) dx + β
+∞
Z
a
g(x) dx.
2. ðÕÓÔØ a < c < +∞, É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ
f(x) ÎÁ [a; +∞), ÔÏÇÄÁ
+∞
Z
a
f(x) dx =
c
Z
a
f(x) dx +
+∞
Z
c
f(x) dx.
3. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a; +∞), ÔÏ ÄÌÑ ÌÀ-
ÂÏÊ ÓÔÒÏÇÏ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÊ É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÊ ÎÁ [α; β) ÆÕÎËÃÉÉ
ϕ : [α; β) → [a; +∞) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
+∞
Z
a
f(x) dx =
β
Z
α
f(ϕ(t))ϕ
0
(t) dt.
4. åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) É g(x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ ÎÁ [a; +∞)
É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ lim
A→+∞
f(x)g(x), ÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ
+∞
R
a
f(x) dx É
+∞
R
a
g(x) dx ÏÄÎÏ-
×ÒÅÍÅÎÎÏ ÓÈÏÄÑÔÓÑ ÉÌÉ ÒÁÓÈÏÄÑÔÓÑ, É × ÓÌÕÞÁÅ ÉÈ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
+∞
Z
a
f(x)g(x) dx = f(x)g(x)
+∞
a
−
+∞
Z
a
f
0
(x)g(x) dx.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ (1) ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) ÎÁ
(−∞; a]
a
Z
−∞
f(x) dx = lim
A→−∞
a
Z
A
f(x) dx,
ÒÁ×ÎÏ ËÁË É ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ (−∞; +∞):
+∞
Z
−∞
f(x) dx = lim
B→−∞
A→+∞
A
Z
B
f(x) dx.
§3. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ                                                    49

   1. åÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÊ f (x) É g(x)
ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a; +∞), ÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ α É β ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ-
×ÅÎÓÔ×Ï:
            Z+∞                        Z+∞             Z+∞
               (αf (x) + βg(x)) dx = α    f (x) dx + β    g(x) dx.
            a                               a                     a

   2. ðÕÓÔØ a < c < +∞, É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ
f (x) ÎÁ [a; +∞), ÔÏÇÄÁ
                     Z+∞          Zc          Z+∞
                        f (x) dx = f (x) dx +    f (x) dx.
                      a             a                     c

   3. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a; +∞), ÔÏ ÄÌÑ ÌÀ-
ÂÏÊ ÓÔÒÏÇÏ ÍÏÎÏÔÏÎÎÏÊ É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÊ ÎÁ [α; β) ÆÕÎËÃÉÉ
ϕ : [α; β) → [a; +∞) ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
                          Z+∞          Zβ
                             f (x) dx = f (ϕ(t))ϕ0(t) dt.
                          a             α

   4. åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) É g(x) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ ÎÁ [a; +∞)
                                            +∞
                                            R             +∞
                                                          R
É ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ lim f (x)g(x), ÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ       f (x) dx É    g(x) dx ÏÄÎÏ-
                A→+∞                                          a           a
×ÒÅÍÅÎÎÏ ÓÈÏÄÑÔÓÑ ÉÌÉ ÒÁÓÈÏÄÑÔÓÑ, É × ÓÌÕÞÁÅ ÉÈ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
                Z+∞                             +∞        Z+∞
                   f (x)g(x) dx = f (x)g(x)             −    f 0 (x)g(x) dx.
                                                a
                a                                             a

  úÁÍÅÞÁÎÉÅ. áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ (1) ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ
(−∞; a]
                  Za                Za
                     f (x) dx = lim    f (x) dx,
                                        A→−∞
                          −∞                        A

ÒÁ×ÎÏ ËÁË É ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ (−∞; +∞):
                          Z+∞               ZA
                             f (x) dx = lim    f (x) dx.
                                        B→−∞
                          −∞            A→+∞ B

Страницы