Интегральное исчисление функции одной переменной. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

50 §3. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ
ðÒÉÍÅÒ 4.
0
Z
−∞
dx
1 + x
2
= lim
A→−∞
0
Z
A
dx
1 + x
2
= lim
A→−∞
(−arctg A) =
π
2
.
ðÒÉÍÅÒ 5.
+∞
Z
−∞
dx
1 + x
2
=
+∞
Z
0
dx
1 + x
2
+
0
Z
−∞
dx
1 + x
2
= π.
3.2. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÏÔ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ
ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f(x) ÚÁÄÁÎÁ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a; b], ÎÏ ÎÅÏÇÒÁ-
ÎÉÞÅÎÁ × ÜÔÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ. ðÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a; b − ε]
(0 < ε < b − a) f(x) ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ, ÎÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÏÇÒÁÎÉ-
ÞÅÎÎÏÊ × ËÁÖÄÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [b − ε, b]. ôÏÞËÁ b × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ.
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) ÎÁ ÐÒÏ-
ÍÅÖÕÔËÅ [a, b] ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÅÄÅÌ lim
ε→0
b
R
a
f(x) dx, ÅÇÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
b
Z
a
f(x) dx = lim
ε→0
b−ε
Z
a
f(x) dx. (2)
÷ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÜÔÏÔ ÐÒÅÄÅÌ ËÏÎÅÞÅÎ, ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ (2) ÓÈÏÄÉÔÓÑ.
åÓÌÉ ÖÅ ÐÒÅÄÅÌ (2) ÂÅÓËÏÎÅÞÅÎ ÉÌÉ ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ
ÉÎÔÅÇÒÁÌ (2) ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ f(x) ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ × ÌÀÂÏÍ
ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a + ε; b] É ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ × ËÁÖÄÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a; a + ε] ÓÐÒÁ×Á
ÏÔ ÔÏÞËÉ a (ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ), ÔÏÇÄÁ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) ÎÁ
ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a, b] ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
b
Z
a
f(x) dx = lim
ε→0
b
Z
a+ε
f(x) dx. (3)
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÕÓÔØ c ∈ [a, b] É ÆÕÎËÃÉÑ f(x) ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ × ÔÏÞËÅ c,
ÐÒÉÞÅÍ ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÁÈ [a; c −ε
1
] (0 < ε
1
< c −a) É [c + ε
2
, b] (0 < ε
2
< b −c)
50                                                       §3. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ

     ðÒÉÍÅÒ 4.
             Z0                      Z0
                    dx                      dx                      π
                        = lim                   = lim (− arctg A) =   .
                  1 + x2 A→−∞             1 + x2 A→−∞               2
            −∞                       A

     ðÒÉÍÅÒ 5.
                    Z+∞              Z+∞                Z0
                            dx               dx                dx
                                 =                +                 = π.
                          1 + x2           1 + x2            1 + x2
                   −∞                 0                −∞



3.2. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÏÔ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ

   ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÚÁÄÁÎÁ ÎÁ ËÏÎÅÞÎÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a; b], ÎÏ ÎÅÏÇÒÁ-
ÎÉÞÅÎÁ × ÜÔÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ. ðÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ × ÌÀÂÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a; b − ε]
(0 < ε < b − a) f (x) ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ, ÎÏ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÅÏÇÒÁÎÉ-
ÞÅÎÎÏÊ × ËÁÖÄÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [b − ε, b]. ôÏÞËÁ b × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÏÓÏÂÏÊ ÔÏÞËÏÊ.
   ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 2. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ ÐÒÏ-
                                     Rb
ÍÅÖÕÔËÅ [a, b] ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÅÄÅÌ lim f (x) dx, ÅÇÏ ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
                                          ε→0 a

                            Zb                 Zb−ε
                                 f (x) dx = lim f (x) dx.                        (2)
                                             ε→0
                            a                      a

÷ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ ÜÔÏÔ ÐÒÅÄÅÌ ËÏÎÅÞÅÎ, ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌ (2) ÓÈÏÄÉÔÓÑ.
åÓÌÉ ÖÅ ÐÒÅÄÅÌ (2) ÂÅÓËÏÎÅÞÅÎ ÉÌÉ ×Ï×ÓÅ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ
ÉÎÔÅÇÒÁÌ (2) ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÓÌÕÞÁÅ, ÅÓÌÉ f (x) ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÁ × ÌÀÂÏÍ
ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a + ε; b] É ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ × ËÁÖÄÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a; a + ε] ÓÐÒÁ×Á
ÏÔ ÔÏÞËÉ a (ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ), ÔÏÇÄÁ ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ
ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ [a, b] ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
                            Zb                     Zb
                                 f (x) dx = lim         f (x) dx.                (3)
                                             ε→0
                            a                   a+ε

  úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÕÓÔØ c ∈ [a, b] É ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ × ÔÏÞËÅ c,
ÐÒÉÞÅÍ ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÁÈ [a; c − ε1] (0 < ε1 < c − a) É [c + ε2, b] (0 < ε2 < b − c)

Страницы