Интегральное исчисление функции одной переменной. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

52 úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
ðÒÉÍÅÒ 9.
2
R
−2
2x dx
x
2
−1
, x = −1, x = 1 ¡ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ.
2
Z
−2
2x dx
x
2
− 1
=
−1
Z
−2
2x dx
x
2
− 1
+
1
Z
−1
2x
x
2
− 1
dx +
2
Z
1
2x
x
2
− 1
dx =
= lim
ε
1
→0
−1−ε
1
Z
−2
dx
2
x
2
− 1
+ lim
ε
2
→0
ε
3
→0
1−ε
3
Z
−1+ε
2
dx
2
x
2
− 1
+ lim
ε
4
→0
2
Z
1+ε
4
dx
2
x
2
− 1
=
= lim
ε
1
→0
ln |x
2
− 1|
−1−ε
1
−2
+ lim
ε
2
→0
ε
3
→0
ln |x
2
− 1|
1−ε
3
−1+ε
2
+ lim
ε
4
→0
ln |x
2
− 1|
2
1+ε
4
= ∞.
éÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
ðÒÉÍÅÒ 10.
a
R
0
dx
(a−x)
p
, x = a ¡ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ.
a
Z
0
dx
(a − x)
p
= lim
ε→0
a−ε
Z
0
dx
(a − x)
p
= lim
ε→0
a
Z
ε
dt
t
p
= lim
ε→0
1
1−p
(a
1−p
− ε
1−p
), p 6= 1
(ln a − ln ε), p = 1,
ÏÔÓÀÄÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
a
R
0
dx
dx
(a − x)
p
ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ p < 1, É ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ p > 1.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÏÔ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ
ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÔÅÍÉ ÖÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ÞÔÏ É ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÎÁ ÂÅÓËÏ-
ÎÅÞÎÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ. ðÒÉ ÉÈ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÐÒÏÍÅÖÕÔÏË [a; +∞) ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ
ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔÏË [a, b].
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
÷ÙÞÉÓÌÉÔØ:
361.
+∞
R
0
e
−x
dx;
362.
+
∞
R
1
dx
x
α
;
363.
+∞
R
6
dx
x
2
−4x
;
364.
+∞
R
0
arcctg x dx;
52                                                              úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

                         R2       2x dx
     ðÒÉÍÅÒ 9.                    x2 −1
                                        ,     x = −1, x = 1 ¡ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ.
                         −2

 Z2                     Z−1                     Z1                       Z2
      2x dx                   2x dx                   2x                       2x
             =                       +                    dx +                     dx =
      x2 − 1                  x2 − 1                 x2−1                     x2−1
 −2                 −2                          −1                       1
                                  −1−ε
                                   Z 1                          1−ε
                                                                Z 3                             Z2
                                              dx2                         dx2                          dx2
                = lim                              + lim                       + lim                         =
                   ε1 →0                     x2 − 1 ε2 →0                x2 − 1 ε4 →0                 x2 − 1
                                  −2                      ε3 →0−1+ε2                           1+ε4
                                          −1−ε1                               1−ε3                           2
                         2                                          2                                  2
      = lim ln |x − 1|                            + lim ln |x − 1|                    + lim ln |x − 1|              = ∞.
        ε1 →0                                        ε2 →0                               ε4 →0
                                          −2         ε3 →0                    −1+ε2                          1+ε4

éÎÔÅÇÒÁÌ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
               Ra dx
  ðÒÉÍÅÒ 10. (a−x)   p , x = a ¡ ÏÓÏÂÁÑ ÔÏÞËÁ.
                              0

 Za                                   Za−ε                     Za                         1
                                                                                             (a1−p − ε1−p), p 6= 1
                                                                                     
         dx                                     dx                      dt               1−p
              = lim                                  = lim                 = lim
      (a − x)p ε→0                           (a − x)p ε→0               tp   ε→0         (ln a − ln ε),     p = 1,
 0                                    0                         ε

                                  Ra   dx
ÏÔÓÀÄÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌ                        dx (a   − x)p ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ p < 1, É ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ p > 1.
                                  0
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. îÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÏÔ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ
ÏÂÌÁÄÁÀÔ ÔÅÍÉ ÖÅ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ, ÞÔÏ É ÎÅÓÏÂÓÔ×ÅÎÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÎÁ ÂÅÓËÏ-
ÎÅÞÎÏÍ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÅ. ðÒÉ ÉÈ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÐÒÏÍÅÖÕÔÏË [a; +∞) ÚÁÍÅÎÑÅÔÓÑ
ÎÁ ÐÒÏÍÅÖÕÔÏË [a, b].

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

÷ÙÞÉÓÌÉÔØ:
       +∞
       R −x
  361.    e dx;
            0
            +
            R∞   dx
     362.        xα ;
            1
            +∞
                   dx
            R
     363.        x2 −4x ;
            6
            +∞
            R
     364.        arcctg x dx;
            0

Страницы