Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 53
Пример 9.5. Доказать, что оператор, заданный формулой (9.1), действу-
ющий из L
1
[a, b] в L
1
[a, b], является ограниченным и его норму можно вычис-
лить по формуле
kAk = max
a≤t≤b
b
Z
a
|K(s, t)|ds.
Здесь K(s, t) – непрерывная функция по s и t.
Решение. Несложно доказать, что
kAk ≤ max
a≤t≤b
b
Z
a
|K(s, t)|ds = C.
Докажем противоположное по знаку неравенство. Так как K(s, t) – непре-
рывная функция, то и функция
b
R
a
|K(s, t)|ds также непрерывна. Значит суще-
ствует число t
0
∈ [a, b] такое, что
C =
b
Z
a
|K(s, t
0
)|ds.
Из непрерывности функции K(s, t) следует ее равномерная непрерывность. То-
гда для любого ε > 0 можно подобрать δ > 0, что |K(s
0
, t
0
) −−K(s, t)| < ε как
только |s
0
−s| < δ, |t
0
−t| < δ. Выберем отрезок ∆ = [t
1
, t
2
] ⊂ [a, b], чтобы точка
t
0
принадлежала отрезку ∆ и длина ∆ была меньше δ. Положим bx(t) =
1
t
2
−t
1
,
если t ∈ δ, и bx(t) = 0 в остальных точках. Тогда
kAbxk
L
1
=
b
Z
a
|Abx(s)|ds =
1
t
2
− t
1
b
Z
a
|
t
2
Z
t
1
K(s, t)dt|ds.
Здесь и всюду ниже L
1
= L
1
[a, b]. Используя неравенство треугольника, полу-
чим
|
t
2
Z
t
1
K(s, t)dt| ≥ |
t
2
Z
t
1
K(s, t
0
)dt| − −
t
2
Z
t
1
|K(s, t
0
) − K(s, t)|dt.
Так как |t
0
− t| < δ при t ∈ [t
1
, t
2
], то |K(s, t
0
) − K(s, t)| < ε. Поэтому
t
2
Z
t
1
|K(s, t
0
) − K(s, t)|dt < ε ·(t
2
− t
1
).

Страницы