Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

52 § 9. Норма оператора и примеры ее вычисления
Задача 9.6. Найти λ, при котором норма оператора A, действующего из
l
3
∞
в l
3
∞
, будет наименьшей
Ax = (λx
1
− 2x
1
+ x
3
, x
1
+ λx
2
, x
1
+ λx
2
+ 4x
3
).
Задача 9.7. Доказать, что норму оператора A, действующего из C[a, b]
в C[a, b] и заданного формулой
Ax(s) =
b
Z
a
K(s, t)x(t)dt, (9.1)
можно вычислить по формуле
kAk = max
a≤s≤b
b
Z
a
|K(s, t)|dt;
здесь K(s, t) – непрерывная функция двух переменных.
Указание. Использовать неравенство (8.2). Для доказательства неравен-
ства
kAk ≥ max
a≤s≤b
b
Z
a
|K(s, t)|dt,
учесть, что из непрерывности функции K(s, t) следует существование числа
s
0
∈ [a, b] такого, что
b
Z
a
|K(s
0
, t)|dt = max
a≤s≤b
b
Z
a
|K(s, t)|dt.
Далее ввести функционал
f(x) =
b
Z
a
K(s
0
, t)x(t)dt
и доказать, что
kAk ≥ kfk.
Для вычисления kfk использовать теорему об общем виде линейного функци-
онала в пространстве C[a, b] (см. также задачу 4.2).

Страницы