Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

50 § 9. Норма оператора и примеры ее вычисления
Пример 9.3. Вычислить норму оператора A, действующего из l
3
1
в l
3
1
и
заданного формулой
A(x) = (2x
1
, 2x
1
− 4x
2
, x
1
+ x
2
− 3x
3
).
Решение. Из определения нормы в пространстве l
3
1
следует, что
kAxk
l
3
1
= |2x
1
| + |2x
1
− 4x
2
| + |x
1
+ x
2
− 3x
3
|.
Используя неравенство треугольника, получим
kAxk
l
3
1
≤ 5|x
1
| + 5|x
2
| + 3|x
3
| ≤ 5kxk
l
3
1
.
Итак, kAk ≤ 5.
Выберем bx = (0, 1, 0), тогда kAbxk
l
3
1
= 5 и kbxk
l
3
1
= 1. Так как kAk ≥
kAbxk
kbxk
, то
kAk ≥ 5. Окончательно имеем kAk = 5.
Заметим, что можно было бы взять bx = (1, 0, 0).
Задача 9.4. Доказать, что норму оператора A, действующего из l
m
1
в l
n
1
,
можно вычислить по формуле
kAk = max
1≤k≤m
n
X
j=1
|a
jk
|.
Замечание. Если n = 1, то оператор A превращается в функционал, и мы
получаем формулу (4.2) в случае p = 1.
Указание. Чтобы доказать неравенство
kAk ≥ max
1≤k≤m
n
X
j=1
|a
jk
|,
нужно выбрать столбец k
0
, для которого
n
X
j=1
|a
jk
0
| = max
1≤k≤m
n
X
j=1
|a
jk
|.
Если таких столбцов несколько (как в примере 9.3), то можно взять любой
из них. Проверить, что если координаты последовательности bx удовлетворяют
условию bx
k
0
= 1, bx
i
= 0, если i 6= k
0
, то kAbxk
l
n
1
= max
1≤k≤m
P
n
j=1
|a
jk
| и kbxk
l
m
1
= 1.
Пример 9.4. Вычислить норму линейного оператора A, действующего из
l
m
∞
в l
n
∞
.

Страницы