Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 49
Решение. Из определения нормы в пространстве C[a, b] следует, что
|x(0)| ≤ kxk, |x(1)| ≤ kxk. Поэтому
|Ax(t)| ≤ |x(0)||t| + |x(1)|t
2
≤ 6kxk.
Так как это верно для любого t, то kAxk ≤ 6kxk и kAk ≤ 6.
Чтобы получить противоположное по знаку неравенство, нужно подобрать
непрерывную функцию bx ∈ C[−2, 1] такую, что
kAbxk
C[−1,2]
kbxk
C[−1,2]
= 6.
Нетрудно заметить, что bx(t) ≡ 1 удовлетворяет этому условию. Как следует
из задачи 9.1, kAk ≥
kAxk
C[−1,2]
kxk
C[−1,2]
для любой функции x ∈ C[−1, 2]. Тогда kAk ≥ 6.
Итак, kAk = 6.
Пример 9.2. Вычислить норму оператора A : C[−1, 3] → L
2
[−1, 3], за-
данного формулой
Ax(t) = t
3
Z
−1
x(s)ds.
Решение. Из определения нормы в пространстве L
2
[−1, 3] следует, что
kAxk
2
L
2
[−1,3]
=
3
Z
−1
t
3
Z
−1
x(s)ds
2
dt.
Оценку можно продолжить, если учесть, что |x(s)| ≤ kxk
C[−1,3]
. Имеем
kAxk
2
L
2
[−1,3]
≤
3
Z
−1
|t · 4|
2
dt
kxk
2
C[−1,3]
.
Вычислив интеграл, получим
kAxk
L
2
[−1,3]
≤ 8
r
7
3
kxk
C[−1,3]
.
Итак, kAk ≤ 8
q
7
3
.
Теперь нужно подобрать непрерывную функцию bx так, чтобы
kAbxk
L
2
[−1,3]
kbxk
C[−1,3]
= 8
q
7
3
.
Выберем bx(t) ≡ 1. Тогда Abx(t) = 4t и kAbxk
L
2
[−1,3]
= 8
q
7
3
. Так как
kbxk
C[−1,3]
= 1, то kAk = 8
q
7
3
.

Страницы