Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

9.
Норма оператора и примеры
ее вычисления
Пусть A – линейный непрерывный оператор, действующий из нормирован-
ного пространства L в нормированное пространство L
1
. Так как A ограничен-
ный оператор, то существует такая постоянная c, что для любого x ∈ L
kAxk
L
1
≤ ckxk
L
.
Наименьшее из чисел c, удовлетворяющих этому неравенству, называется нор-
мой оператора A и обозначается kAk.
Задача 9.1. Доказать, что норму любого линейного ограниченного опе-
ратора, действующего из L в L
1
, можно вычислить по одной из следующих
формул
kAk = sup
kxk
L
≤1
kAxk
L
1
= sup
kxk
L
=1
kAxk
L
1
= sup
x6=0
kAxk
L
1
kxk
L
.
Задача 9.2. Пусть H – гильбертово пространство, A – линейный огра-
ниченный оператор, действующий в H. Доказать, что
kAk = sup
|(Ax, y)|
kxkkyk
;
здесь точная верхняя грань берется по всем x, y ∈ H и x 6= 0, y 6= 0.
Задача 9.3. Пусть L, L
1
– банаховы пространства, A – линейный ограни-
ченный оператор, действующий из L в L
1
. Всегда ли равенства
а) kxk
1
= kAxk
L
1
;
б) kxk
2
= kxk
L
+ kAxk
L
1
задают в L норму? Будет ли в этой норме L
банаховым пространством?
Пример 9.1. Вычислить норму оператора A : C[−2, 1] → C[−2, 1], задан-
ного формулой
Ax(t) = x(0)t + x(1)t
2
.
48

Страницы