Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

46 § 8. Линейные непрерывные операторы
Задача 8.10. Пусть ядро интегрального оператора (8.1) является непре-
рывной функцией. Доказать, что если этот оператор действует в простран-
стве L
1
[a, b], то он является непрерывным.
Указание. Доказать, что выполняется неравенство
kAxk
L
1
[a,b]
≤ ckxk
L
1
[a,b]
;
здесь c = max
t∈[a,b]
b
R
a
|K(s, t)|ds.
Задача 8.11. Доказать, что интегральный оператор (8.1), действующий
из пространства
f
L
1
[a, b] в C[a, b], является непрерывным, если ядро операто-
ра – непрерывная функция.
Пример 8.3. Пусть интегральный оператор (8.1) действует из L
2
[a, b] в
L
2
[a, b]. Доказать, что он является непрерывным, если ядро оператора изме-
римо на квадрате Q = [a, b] × [a, b] и
N :=
v
u
u
t
Z
Q
|K(s, t)|
2
dsdt < ∞.
Решение. Для доказательства непрерывности оператора A используем
неравенство Коши–Буняковского:
kAxk
2
L
2
[a,b]
=
b
Z
a
b
Z
a
K(s, t)x(t)dt
2
ds ≤
≤
b
Z
a
b
Z
a
|K(s, t)|
2
dt
b
Z
a
|x(t)|
2
dt
ds = N
2
kxk
2
L
2
[a,b]
.
Пример 8.4. Рассмотрим линейный оператор A, действующий из l
p
в l
q
,
где
1
p
+
1
q
= 1 и 1 < p < ∞. Тогда оператор задается с помощью бесконечной
матрицы
a
11
a
12
. . .
a
21
a
22
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Доказать, что если
K := (
∞
X
i=1
∞
X
k=1
|a
ik
|
q
|)
1
q
< ∞,
то A будет ограниченным оператором.

Страницы