Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 45
Задача 8.9. Доказать, что оператор, действующий в пространстве
C[a, b] и определенный формулой
Ax(s) =
b
Z
a
K(s, t)x(t)dt, (8.1)
является линейным непрерывным.
Здесь K(s, t) – фиксированная непрерывная функция двух переменных.
Функцию K(s, t) называют ядром оператора A.
Указание. Доказать, что выполняется неравенство
kAxk
C[a,b]
≤ Mkxk
C[a,b]
; (8.2).
здесь M = max
a≤s≤b
b
R
a
|K(s, t)|dt. Учесть непрерывность функции K(s, t) при дока-
зательстве того, что M < ∞.
Отметим, что операторы вида (8.1) часто встречаются в анализе и его при-
ложениях. Например, интегралы Дирихле и Фейера являются примерами таких
операторов.
Пример 8.2. Доказать, что оператор A, действующий в пространстве
L
1
[−2, 3] и определенный формулой
Ax(s) =
3
Z
−2
sin(ts)x(t)dt,
является линейным непрерывным.
Решение. Линейность оператора A очевидна. Докажем, что это ограничен-
ный оператор. Учитывая определение нормы в пространстве L
1
[−2, 3], получим
kAxk
L
1
[−2,3]
=
3
Z
−2
|Ax(s)|ds ≤
3
Z
−2
3
Z
−2
|sin(ts)||x(t)|dt
ds.
Поменяем порядок интегрирования, используя теорему Фубини. Имеем
kAxk
L
1
[−3,2]
≤
3
Z
−2
3
Z
−2
|sin(ts)|ds
|x(t)|dt.
Так как |sin(ts)| ≤ 1, то внутренний интеграл не превышает 5.
Окончательно получим
kAxk
L
1
[−2,3]
≤ 5kxk
L
1
[−2,3]
.
Из ограниченноcти линейного оператора A следует его непрерывность.

Страницы