ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
8.
Линейные непрерывные
операторы
Пусть L и L
1
– два линейных нормированных пространства. Линейным
оператором, действующим из L в L
1
, называется отображение A, удовлетворя-
ющее условию
A(αx + βy) = αAx + βAy.
Линейный функционал является частным случаем линейного оператора.
Совокупность всех x ∈ L, для которых оператор A определен, называется
областью определения A и обозначается D(A). Областью значений опе-
ратора A называется множество
J(A) = {y ∈ L
1
: y = Ax, x ∈ D(A)}.
Оператор называется непрерывным в точке x
0
∈ D
A
, если из kx
n
−x
0
k
L
→ 0
следует, что kAx
n
−Ax
0
k
L
1
→ 0. Оператор называется непрерывным, если он
непрерывен в каждой точке x ∈ D(A).
Линейный оператор, действующий из L в L
1
, называется ограниченным,
если существует такая постоянная C, что
kAxk
L
1
≤ Ckxk
L
для любого x ∈ L.
Можно дать другое определение ограниченного оператора.
Линейный оператор A : L → L
1
называется ограниченным, если он каж-
дое ограниченное множество переводит в ограниченное.
Задача 8.1. Доказать равносильность двух определений ограниченного
оператора.
Приведем некоторые простейшие свойства линейных непрерывных операто-
ров (сравнить со свойствами линейных непрерывных функционалов, отмечен-
ных во втором разделе).
43
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
