Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

42 § 7. Теорема Хана–Банаха
Пример 7.6. Найти расстояние от точки x
0
= (1, −2, 3, 0, 0, 4) до гипер -
плоскости P = {x ∈ l
6
1
: 2x
1
+ x
2
− 3x
6
= 6}, а также элемент наилучшего
приближения.
Решение. Рассмотрим функционал f(x) = 2x
1
+x
2
−3x
6
на пространстве l
6
1
.
Используя теорему 4.1 об общем виде функционала, получим kfk = kak
l
6
∞
, где
a = (2, 1, 0, 0, 0, −3). Учитывая определение нормы в пространстве l
6
∞
, имеем
kak
l
6
∞
= max(2, 1, | − 3|) = 3. Используя задачу 7.7, получим
ρ(x
0
, P ) =
|f(x
0
) − 6|
kfk
=
|2 · 1 −2 − 4 · 3 − 6|
3
= 6.
Теперь найдем элемент наилучшего приближения. Для этого сначала найдем
вектор m ∈ l
6
1
, для которого kmk
l
6
1
= 1 и f(m) = kfk = 3. Несложно прове-
рить, что вектор m = (0, 0, 0, 0, 0, −1) удовлетворяет этим требованиям. Тогда
элемент наилучшего приближения находим по формуле (7.3). Имеем
p
∗
= (1, −2, 3, 0, 0, 4) − −
−18
3
(0, 0, 0, 0, 0, −1) = (1, −2, 3, 0, 0, −2).

Страницы