Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 41
Найдем теперь элемент наилучшего приближения p
∗
. Как следует из фор-
мулы (7.1), для этого нужно найти функцию m ∈ C[−1, 1], удовлетворяющую
условиям kmk = 1 и f(m) = kfk. В этом нам поможет подход, который мы
использовали при вычислении нормы функционала (см. третий раздел). Ко-
гда мы оценивали kfk снизу, мы по существу находили функцию m, для ко-
торой выполнялись необходимые условия. В данном примере m(t) = 1, тогда
p
∗
(t) = t
2
−
3
5
.
Пример 7.5. Вычислить расстояние в пространстве C[−1, 1] от элемен-
та x
0
(t) = t до ядра функционала f(x) =
1
R
−1
tx(t)dt. Найти элемент наилуч-
шего приближения или минимизирующую последовательность.
Решение. Поступим аналогично тому, как это было сделано в предыдущем
примере. Так как f(x
0
) =
2
3
и kfk =
1
R
−1
|t|dt = 1, то ρ(x
0
, kerf) =
2
3
.
Докажем, что не существует непрерывной функции m, норма которой равна
1 и f(m) = kfk. Предположим, что такая функция существует и пусть найдется
t
∗
∈ (0, 1), что m(t
∗
) < 1. Так как m – непрерывная функция, то найдется
число δ > 0 такое, что m(t) < 1 для любого t ∈ (t
∗
− δ, t
∗
+ δ)
T
(0, 1). Тогда,
учитывая неравенство −1 ≤ m(t) ≤ 1, получим f(m) =
1
R
−1
tm(t)dt < 1. С
другой стороны, kfk = 1. Это противоречие доказывает, что m(t) = 1 для
любой точки t ∈ (0, 1). Аналогично доказывается, что m(t) = −1 для любой
точки t ∈ (−1, 0). Но функция, удовлетворяющая таким условиям, не может
быть непрерывной в нуле. Итак, мы доказали, что функции m не существует,
а значит не существует элемента наилучшего приближения.
Найдем тогда минимизирующую последовательность. Рассмотрим функци-
онал f(x) =
1
R
−1
tx(t)dt на более широком, чем C[a, b], пространстве ограничен-
ных функций M[a, b]. Тогда функция bm(t) = sgnt удовлетворяет условиям:
kbmk
M[a,b]
= 1 и f( bm) = kfk = 1. Так как bm не является непрерывной, то ее
нужно ”подправить” (см. пример 3.4). Подправим функцию bm в нуле, где у нее
есть разрыв. Непрерывные функции m
n
определим по формуле
m
n
(t) =
1,
1
n
≤ t ≤ 1;
nt, −
1
n
≤ t ≤
1
n
;
−1, 0 ≤ t ≤ −
1
n
.
Тогда минимизирующая последовательность p
n
может быть найдена по фор-
муле (7.2). Имеем
p
n
(t) = t −
2
3
1 −
1
3n
2
m
n
(t).

Страницы