Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

40 § 7. Теорема Хана–Банаха
Отметим, что в отличие от элемента наилучшего приближения минимизирую-
щая последовательность всегда существует.
В том случае, когда P = kerf, элемент наилучшего приближения p
∗
(если
он существует) может быть найден по формуле
p
∗
= x
0
−
f(x
0
)
f(m)
m, (7.1)
где m ∈ L, kmk = 1 и f(m) = kfk.
Действительно, f(p
∗
) = f(x
0
) −
f(x
0
)
f(m)
· f(m) = 0, то есть p
∗
∈ kerf. Кроме
того,
kp
∗
− x
0
k =
|f(x
0
)|
f(m)
kmk =
|f(x
0
)|
kfk
= ρ(x
0
, P ).
Если не существует элемента m такого, что kmk = 1 и f(m) = kfk, то не
существует и элемента наилучшего приближения. В этом случае можно найти
последовательность m
n
, такую что km
n
k = 1 и f(m
n
) → kfk. Тогда минимизи-
рующая последовательность определяется по формуле
p
n
= x
0
−
f(x
0
)
f(m
n
)
m
n
. (7.2)
Если P – гиперплоскость, то есть P = {x ∈ L : f(x) = c}, то элемент
наилучшего приближения для x
0
можно найти по формуле (сравните с (7.1)).
p
∗
= x
0
−
f(x
0
) − c
f(m)
m, (7.3)
где m ∈ L, kmk = 1 и f(m) = kfk.
Пример 7.4. Вычислить расстояние в пространстве C[−1, 1] от элемен-
та x
0
(t) = t
2
до ядра функционала f(x) =
1
R
−1
t
2
x(t)dt. Найти элемент наилуч-
шего приближения или минимизирующую последовательность.
Решение. Используя результат задачи 7.6, имеем
ρ(x
0
, kerf) =
|f(x
0
)|
kfk
.
Так как f(x
0
) =
1
R
−1
t
4
dt =
2
5
, то остается вычислить норму функционала. Из
следствия теоремы Ф. Рисса об общем виде функционала (задача 4.1) получаем,
что kfk =
1
R
−1
t
2
dt =
2
3
. Итак, ρ(x
0
, kerf) =
3
5
.

Страницы