ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
38 § 7. Теорема Хана–Банаха
Так как f является продолжением f
0
и их нормы совпадают, то получаем
следующую систему:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ a
3
x
3
= 2x
1
+ 3x
2
− x
3
x
1
= t
x
2
= 2t
x
3
= 3t
max (|a
1
|, |a
2
|, |a
3
|) =
5
6
.
Первые четыре условия дают равенство a
1
+ 2a
2
+ 3a
3
= 5. Итак, остается
решить такую задачу:
max (|5 − 2a
2
− 3a
3
|, |a
2
|, |a
3
|) =
5
6
.
Можно просто перебрать варианты, когда одно из чисел равно
5
6
, а два дру-
гих не превосходят
5
6
. Мы решим задачу по-другому. Так как |5−2a
2
−3a
3
| ≤
5
6
,
то
25
6
≤ 2a
2
+ 3a
3
≤
35
6
. С другой стороны, a
2
≤
5
6
и a
3
≤
5
6
, а зна-
чит, 2a
2
+ 3a
3
≤
25
6
. Следовательно, существует единственное решение задачи
a
1
= a
2
= a
3
=
5
6
.
Приведем несколько следствий из теоремы Хана–Банаха.
Задача 7.1. Доказать, что если x
0
– ненулевой элемент в нормированном
пространстве L, то существует такой линейный непрерывный функционал
f на L, что
kfk = 1 и f(x
0
) = kx
0
k.
Указание. Рассмотреть подпространство L
0
= lin{x
0
} и функционал
f
0
(tx
0
) = tkx
0
k, заданный на L
0
.
Задача 7.2. Пусть x
1
, x
2
∈ L, причем x
1
6= x
2
. Доказать, что тогда суще-
ствует линейный непрерывный функционал f на L такой, что f(x
1
) 6= f(x
2
).
Задача 7.3. Пусть e
1
, ..., e
k
– линейно независимая система в L. Дока-
зать, что существует биортогональная система функционалов в L
∗
, то есть
существуют функционалы f
1
, ..., f
k
такие, что f
n
(x
i
) = δ
ni
.
Напомним, что расстояние от элемента x
0
до множества P определяется
следующим образом:
ρ(x
0
, P ) = inf
p∈P
kx
0
− −pk.
Задача 7.4. Пусть
b
L – подпространство (замкнутое), x
0
/∈
b
L, и d – это
расстояние от x
0
до
b
L. Доказать, что существует линейный непр ерывный
функционал f на L такой, что выполняются следующие условия:
1) f(x) = 0 для x ∈
b
L;
2) f(x
0
) = 1;
3) kfk =
1
d
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
