ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
36 § 7. Теорема Хана–Банаха
Решение. Вычислим норму функционала f
0
. По определению имеем:
kf
0
k
L
0
= sup
x
1
+x
2
=0
|x
1
− 2x
2
|
|x
1
| + |x
2
|
=
3
2
.
Из теоремы 4.1 следует, что искомый функционал f имеет вид
f(x) = a
1
x
1
+ a
2
x
2
и
kfk
l
2
1
= max(|a
1
|, |a
2
|).
Так как функционал f является продолжением f
0
, то
(
a
1
x
1
+ a
2
x
2
= x
1
− 2x
2
x
1
+ x
2
= 0.
Отсюда следует, что (a
1
−a
2
)x
1
= 3x
1
. Так как это верно для любого x
1
∈ R,
то a
1
− a
2
= 3.
Учитывая, что kfk
L
= kf
0
k
L
0
, получаем второе условие на числа
a
1
, a
2
: max(|a
1
|, |a
2
|) =
3
2
. Таким образом, нужно решить уравнение
max(|a
1
|, |a
1
− 3|) =
3
2
. Построив график y = max(|a
1
|, |a
1
− 3|), находим,
что a
1
=
3
2
. Итак, искомый функционал имеет вид
f(x) = −
3
2
x
1
+
3
2
x
2
.
Приведем пример, показывающий, что функционал f
0
может иметь множе-
ство продолжений.
Пример 7.2. Пусть подпространство L
0
пространства l
2
∞
определяется
формулой
L
0
=
x ∈ l
2
∞
: x
1
= x
2
.
а
f
0
(x) = x
1
+ 3x
2
.
Найти продолжение f
0
.
Решение. Используем геометрический подход. Вычислим норму f
0
, исполь-
зуя утверждение 3.1. Сейчас гиперплоскость A
f
0
= {x ∈ L
0
: x
1
+ 3x
2
= 1}
состоит из одной точки M =
1
4
,
1
4
. Так как расстояние от A
f
0
до 0 рав-
но
1
4
, то kf
0
k = 4. Построим теперь гиперплоскость (а сейчас это прямая)
A
f
= {x ∈ L : f(x) = 1} так, чтобы она прошла через точку M и рас-
стояние до нуля было равно
1
4
. Напомним, как находить расстояние от точки до
прямой. Берем маленький шар с центром в заданной точке и ”раздуваем” его
до первого касания с прямой. В нашем случае мы должны нарисовать шар с
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
