ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7.
Теорема Хана–Банаха
Пусть L – линейное нормированное пространство, L
0
– некоторое его под-
пространство. Пусть далее на L
0
задан линейный непрерывный функционал f
0
.
Функционал f называется продолжением функционала f
0
, если
f(x) = f
0
(x)
для всех x ∈ L
0
.
Задача о продолжении линейного функционала часто встречается в анализе.
Центральное место в этой теме занимает следующая теорема
Теорема 7.1 (Хана–Банаха). Пусть f
0
– линейный непрерывный функци-
онал, заданный на подпространстве L
0
, L
0
⊂ L. Тогда функционал f
0
мо-
жет быть продолжен до некоторого линейного непрерывного функционала f
на всем пространстве L без увеличения нормы, то есть так, что
kf
0
k
L
0
= kfk
L
.
Можно дать геометрическую интерпретацию теореме Хана–Банаха. Как
следует из утверждения 2.1, уравнение f
0
(x) = 1 определяет в L
0
гиперплос-
кость, лежащую на расстоянии
1
kf
0
k
до нуля. Продолжая f
0
без увеличения нор-
мы до функционала на всем L, мы проводим через эту частичную гиперплос-
кость ”большую” гиперплоскость на всем L, причем расстояние до нуля остается
прежним.
Приведем примеры построения продолжения линейного функционала на
плоскости и в трехмерном пространстве.
Пример 7.1. Пусть L
0
– подпространство l
2
1
, определяемое формулой
L
0
=
x ∈ l
2
1
: x
1
+ x
2
= 0
.
На L
0
задан функционал f
0
(x) = x
1
−2x
2
. Найти продолжение функционала
f
0
, чтобы выполнялись условия теоремы Хана–Банаха.
35
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
