ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 37
центром в нуле и радиусом
1
4
. Выясним, как выглядит шар в пространстве l
2
∞
.
Вспоминая, как задается норма в l
2
∞
, получаем формулу
B[0,
1
4
] =
x ∈ l
2
∞
: max(|x
1
|, |x
2
|) =
1
4
.
Таким образом, шар в пространстве l
2
∞
– это квадрат со сторонами, парал-
лельными осям координат. Заметим, что точка M попала в ”вершину” шара
B[0,
1
4
]. Это означает, что можно проводить любую прямую, которая проходит
через M и заключена между прямыми x
1
=
1
4
и x
2
=
1
4
(прямая не должна
пересекать шар). Уравнение любой такой прямой имеет вид
a
1
x
1
−
1
4
+ a
2
x
2
−
1
4
= 0, a
1
, a
2
≥ 0.
Это уравнение можно записать по-другому
4
a
1
+ a
2
(a
1
x
1
+ a
2
x
2
) = 1.
Итак, функционал
f(x) =
4
a
1
+ a
2
(a
1
x
1
+ a
2
x
2
),
где a
1
, a
2
≥ 0 и a
2
1
+ a
2
2
6= 0, является искомым.
Заметим, что если точка попадает на грань шара (как в задаче 7.1), то про-
должение единственное, а если в вершину (как в задаче 7.2), то продолжений
множество. В частности, отсюда следует, что в евклидовом пространстве l
2
2
про-
должение единственно, так как шар в l
2
2
круглый.
Пример 7.3. Пусть подпространство L
0
пространства l
3
1
определяется
формулой
L
0
=
x ∈ l
2
∞
: x
1
= t, x
2
= 2t, x
3
= 3t
.
а
f
0
(x) = 2x
1
+ 3x
2
− x
3
.
Найти продолжение f
0
.
Решение. Вычислим норму функционала f
0
. Имеем
kf
0
k = sup
t
|2t + 6t − 3t|
|t| + |2t| + 3t
=
5
6
.
Функционал f имеет вид
f(x) = a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ a
3
x
3
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
