Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 39
Указание. Ввести подпространство L
0
= lin(
b
L, x
0
) и функционал
f
0
: L
0
→ R, который задается формулой:
f
0
(
b
l + tx
0
) = t.
Формулу, которую предлагается доказать в следующей задаче, иногда называ-
ют формулой двойственности.
Задача 7.5. Доказать, что
ρ(x
0
,
b
L) = max
f(x
0
)
kfk
: f ∈ L
∗
, f|
b
L
= 0
.
Здесь сохранены обозначения задачи 7.4.
Задача 7.6. Доказать, что
ρ(x
0
, kerg) =
|g(x
0
)|
kgk
;
здесь g – линейный непрерывный функционал.
Указание. Доказать, используя задачу 2.8, что все функционалы f, кото-
рые на гиперплоскости
b
L = kerg обращаются в нуль, пропорциональны g.
Задача 7.7. Доказать, что
ρ(x
0
, M
g
) =
|g(x
0
) − c|
kgk
;
здесь M
g
= {m ∈ L : g(m) = c} и g ∈ L
∗
.
Указание. Пусть em ∈ M
g
, то есть g( em) = c. Доказать, что
ρ(x
0
, M
g
) = ρ(x
0
− em, kerg).
Далее применить результат задачи 7.6.
В примерах, которые будут рассмотрены ниже, нужно не только найти рас-
стояние от элемента x
0
до множества P ⊂ L, но и найти элемент наилучшего
приближения. Напомним, что p
∗
∈ P называется элементом наилучшего
приближения для x
0
, если
kx
0
− p
∗
k = ρ(x
0
, P ).
Элемент наилучшего приближения может не существовать. В этом случае сле-
дует указать минимизирующую последовательность. Последовательность {p
n
}
точек из P называется минимизирующей, если
lim
n→0
kx
0
− p
n
k = ρ(x
0
, P ).

Страницы