ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
6.
Сильная и слабая сходимость
последовательности
функционалов
В пространстве линейных непрерывных функционалов L
∗
была введена нор-
ма
kfk = sup
x6=0
|f(x)|
kxk
L
.
Сходимость по норме называют сильной сходимостью функционалов.
Последовательность {f
n
} называется слабо сходящейся к f ∈ L
∗
, если для
каждого x ∈ L выполняется соотношение
f
n
(x) → f(x).
Очевидно, что если последовательность функционалов сходится сильно, то
она сходится и слабо. Это сразу следует из неравенства
|f
n
(x) −f(x)| ≤ kf
n
− fk · kxk.
Обратное утверждение в общем случае неверно.
Пример 6.1. Доказать, что последовательность f
n
(x) = x
n
сходится
слабо, но не сходится сильно в l
2
.
Решение. Так как f
n
(x) = (x, e
n
), то, как следует из теоремы 4.6 об общем
виде функционала, kf
n
k = ke
n
k = 1. С другой стороны, так как x ∈ l
2
, то
∞
P
n=1
x
2
n
< ∞, а, значит, x
n
→ 0. Таким образом, последовательность f
n
слабо
сходится к нулевому функционалу, но не сходится сильно.
Задача 6.1. Доказать, что в пространстве C[0, 1] последовательность
функционалов
f
n
(x) =
1
π
2π
Z
0
x(t) cos ntdt
33
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
