Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа 31
Задача 5.4. Доказать, что
(l
∞
)
∗
6= l
1
.
Указание. Использовать результат задачи 5.3.
Задача 5.5. Доказать, что
(L
p
[a, b])
∗
is
= L
q
[a, b],
где
1
p
+
1
q
= 1 и 1 ≤ p < ∞.
Обозначим через V
0
[a, b] множество всех функций с ограниченным измене-
нием на [a, b], равных нулю в точке a и непрерывных справа на (a, b]. Норма на
V
0
[a, b] определяется с помощью формулы
kgk
V
0
[a,b]
:= V
b
a
[g].
Отметим, что при этом все свойства нормы выполняются (см. раздел 4 свой-
ства 1–3 полной вариации).
Задача 5.6. Доказать, что
(C[a, b])
∗
is
= V
0
[a, b].
Если L = L
∗
, то пространство называется самосопряженным.
Задача 5.7. Привести примеры самосопряженных пространств.
Перейдем к определению рефлексивного пространства.
Пусть, как обычно, L – линейное нормированное пространство. Так как L
∗
также является линейным нормированным пространством, то можно построить
второе сопряженное L
∗∗
= (L
∗
)
∗
.
Утверждение 5.1. Имеет место изометричное вложение
L ⊂ L
∗∗
.
Доказательство. Рассмотрим функционал f(x), определенный на L. Ра-
нее мы считали, что f фиксирован, а x – переменный элемент из L. Но можно
изменить подход к выражению f(x), считая x ∈ L фиксированным, а f – пере-
менным элементом из L
∗
. В этом случае выражение f(x) можно рассматривать
как функционал F
x
, определенный на L
∗
. Таким образом,
F
x
(f) = f(x).
Заметим, что в некоторых книгах по функциональному анализу пишут не
f(x), а (f, x), подчеркивая этим равнозначность элементов f и x.

Страницы