Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

5.
Сопряженные пространства
В этом разделе будет дано определение сопряженного пространства, указа-
ны его свойства и приведены примеры сопряженных пространств.
Пусть L – линейное нормированное пространство. Множество всех линей-
ных непрерывных функционалов, определенных на L, называется сопряжен-
ным к L и обозначается L
∗
. Введем в L
∗
операции сложения и умножения на
число. Суммой функционалов f
1
, f
2
назовем функционал f(x) = f
1
(x) + f
2
(x).
Произведением αf
1
линейного функционала f
1
на число α назовем функционал
f(x) = αf
1
(x).
Нетрудно проверить, что L
∗
– линейное пространство. Действительно, пусть
f
1
, f
2
– два линейных непрерывных функционала. Обозначим f = f
1
+ f
2
. Про-
верим, что f – линейный функционал. Используя линейность функционалов f
1
и f
2
, получим
f(αx + βy) = f
1
(αx + βy) + f
2
(αx + βy) =
= αf
1
(x) + βf
1
(y) + αf
2
(x) + βf
2
(y) =
= α(f
1
(x) + f
2
(x)) + β(f
1
(y) + f
2
(y)) = αf(x) + βf(y).
Теперь докажем, что f – непрерывный функционал. Н апомним (см. задачу
2.4), что для линейного функционала понятия непрерывности и ограниченности
совпадают. Из неравенства треугольника kfk ≤ kf
1
k+ kf
2
k следует ограничен-
ность, а значит, и непрерывность функционала f. Итак, мы доказали, что f
1
+f
2
– линейный непрерывный функционал. Линейность и непрерывность функци-
онала αf
1
доказывается аналогично.
Для непрерывных линейных функционалов мы ввели понятие нормы. На-
помним, что норму функционала можно вычислить по формуле
kfk = sup
x6=0
|f(x)|
kxk
.
Примем kfk за норму элемента f ∈ L
∗
. Так как эта величина удовлетворяет
всем требованиям нормы (см. задачу 3.3), то L
∗
становится линейным норми-
рованным пространством.
29

Страницы