Линейные функционалы и операторы в курсе функционального анализа - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЯрГУ | Ярославль

Составители: 

Рубрика: 

28 § 4. Общий вид функционалов в различных пространствах
здесь Φ = Φ
1
+ Φ
2
. Заметим, что функция Φ удовлетворяет условиям теоремы
4.1. Тогда kfk = V
1
−1
[Φ].
По свойствам полной вариации
V
1
−1
[Φ] ≤ V
1
−1
[Φ
1
] + V
1
−1
[Φ
2
].
Используем свойство 6 полной вариации, тогда V
1
−1
[Φ
1
] = 1. Полную вариа-
цию функции Φ
2
вычислили в примере 4.1. Тогда V
1
−1
[Φ] ≤ 2. С другой стороны,
из определения полной вариации следует, что
V
1
−1
[Φ] ≥ |Φ(−1) − Φ(0 −ε)|+ |Φ(0 − ε) − Φ(0)| + |Φ(0) − Φ(1)|.
Учтем, что Φ(−1) = 0, Φ(0) =
1
2
, Φ(1) = 1, lim
ε→0
Φ(0 − ε) = −
1
2
, а
lim
ε→0
|Φ(0 − ε) − Φ(0)| =
1
2
.
Устремив ε к нулю, получим V
1
−1
[Φ] ≥ 2. Итак, V
1
−1
[Φ] = 2 и kfk = 2.
Последний результат этого раздела связан с общим видом функционала в
гильбертовом пространстве.
Теорема 4.6. Пусть H – действительное гильбертово пространство.
Для любого непрерывного линейного функционала f на H существует един-
ственный элемент a ∈ H такой, что
f(x) = (a, x), x ∈ H,
причем kfk = kak.
Напомним, что L
2
[a, b] и l
2
– гильбертовы пространства. В этих случаях тео-
рема 4.6 следует из теоремы 4.2 и теоремы 4. 3, так как скалярное произведение
в l
2
и L
2
[a, b] задается с помощью следующих формул
(x, y) =
∞
X
i=1
x
i
y
i
и
(x, y) =
Z
[a,b]
x(t)y(t)dt.

Страницы